Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2lem 44525
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2lem.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupre2lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre2lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2lem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre2lem
StepHypRef Expression
1 limsupre2lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
4 limsupre2lem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
53, 4ssexd 5324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 7231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
76limsupcld 44491 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
8 xrre4 44206 . . 3 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ∧ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)))
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ∧ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)))
10 df-ne 2941 . . . . 5 ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = -∞)
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = -∞))
12 limsupre2lem.1 . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝐹
1312, 4, 1limsupmnf 44522 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
1413notbid 317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
15 annim 404 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
1615rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
17 rexnal 3100 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
1816, 17bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
1918ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
20 ralnex 3072 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2119, 20bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2221rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
23 rexnal 3100 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2422, 23bitr2i 275 . . . . . 6 (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
26 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2726rexrd 11266 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2928ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3027, 29xrltnled 44158 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3130bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)))
3231anbi2d 629 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3332rexbidva 3176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3433ralbidv 3177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3534rexbidva 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3625, 35bitrd 278 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3711, 14, 363bitrd 304 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
38 df-ne 2941 . . . . 5 ((lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
3938a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = +∞))
4012, 4, 1limsuppnf 44512 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4140notbid 317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4229, 27xrltnled 44158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4342imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4443ralbidva 3175 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4544rexbidv 3178 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4645rexbidva 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
47 imnan 400 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4847ralbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
49 ralnex 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5048, 49bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5150rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
52 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5351, 52bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5453rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
55 rexnal 3100 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5654, 55bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5756a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
5846, 57bitr2d 279 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)))
5939, 41, 583bitrd 304 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)))
6037, 59anbi12d 631 . 2 (πœ‘ β†’ (((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ∧ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯))))
619, 60bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  lim supclsp 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-ico 13332  df-limsup 15417
This theorem is referenced by:  limsupre2  44526
  Copyright terms: Public domain W3C validator