Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2lem 42777
 Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2lem.1 𝑗𝐹
limsupre2lem.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre2lem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2lem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre2lem
StepHypRef Expression
1 limsupre2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 reex 10679 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupre2lem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5198 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 6987 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
76limsupcld 42743 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
8 xrre4 42459 . . 3 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ* → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ∧ (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ∧ (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)))
10 df-ne 2952 . . . . 5 ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = -∞)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = -∞))
12 limsupre2lem.1 . . . . . 6 𝑗𝐹
1312, 4, 1limsupmnf 42774 . . . . 5 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1413notbid 321 . . . 4 (𝜑 → (¬ (lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
15 annim 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1615rexbii 3175 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
17 rexnal 3165 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1816, 17bitri 278 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1918ralbii 3097 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
20 ralnex 3163 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2119, 20bitri 278 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2221rexbii 3175 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
23 rexnal 3165 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2422, 23bitr2i 279 . . . . . 6 (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
26 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726rexrd 10742 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
281adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2928ffvelrnda 6848 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3027, 29xrltnled 42408 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3130bicomd 226 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑥 < (𝐹𝑗)))
3231anbi2d 631 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3332rexbidva 3220 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3433ralbidv 3126 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3534rexbidva 3220 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3625, 35bitrd 282 . . . 4 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3711, 14, 363bitrd 308 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
38 df-ne 2952 . . . . 5 ((lim sup‘𝐹) ≠ +∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ +∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞))
4012, 4, 1limsuppnf 42764 . . . . 5 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4140notbid 321 . . . 4 (𝜑 → (¬ (lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4229, 27xrltnled 42408 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4342imbi2d 344 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4443ralbidva 3125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4544rexbidv 3221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4645rexbidva 3220 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
47 imnan 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4847ralbii 3097 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
49 ralnex 3163 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5048, 49bitri 278 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5150rexbii 3175 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
52 rexnal 3165 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5351, 52bitri 278 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5453rexbii 3175 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
55 rexnal 3165 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5654, 55bitri 278 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
5846, 57bitr2d 283 . . . 4 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
5939, 41, 583bitrd 308 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ +∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
6037, 59anbi12d 633 . 2 (𝜑 → (((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ∧ (lim sup‘𝐹) ≠ +∞) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
619, 60bitrd 282 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2899   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  ℝcr 10587  +∞cpnf 10723  -∞cmnf 10724  ℝ*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  lim supclsp 14888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-ico 12798  df-limsup 14889 This theorem is referenced by:  limsupre2  42778
 Copyright terms: Public domain W3C validator