Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2lem 44118
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2lem.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupre2lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre2lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2lem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre2lem
StepHypRef Expression
1 limsupre2lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2 reex 11166 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
4 limsupre2lem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
53, 4ssexd 5301 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 7197 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
76limsupcld 44084 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
8 xrre4 43799 . . 3 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ∧ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)))
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ∧ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)))
10 df-ne 2940 . . . . 5 ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = -∞)
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = -∞))
12 limsupre2lem.1 . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝐹
1312, 4, 1limsupmnf 44115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
1413notbid 317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
15 annim 404 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
1615rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
17 rexnal 3099 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
1816, 17bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
1918ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
20 ralnex 3071 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2119, 20bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2221rexbii 3093 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
23 rexnal 3099 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2422, 23bitr2i 275 . . . . . 6 (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
26 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2726rexrd 11229 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2928ffvelcdmda 7055 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3027, 29xrltnled 43751 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3130bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)))
3231anbi2d 629 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3332rexbidva 3175 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3433ralbidv 3176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3534rexbidva 3175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3625, 35bitrd 278 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
3711, 14, 363bitrd 304 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))))
38 df-ne 2940 . . . . 5 ((lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
3938a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = +∞))
4012, 4, 1limsuppnf 44105 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4140notbid 317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4229, 27xrltnled 43751 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4342imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4443ralbidva 3174 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4544rexbidv 3177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
4645rexbidva 3175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
47 imnan 400 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4847ralbii 3092 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
49 ralnex 3071 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5048, 49bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5150rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
52 rexnal 3099 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5351, 52bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5453rexbii 3093 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
55 rexnal 3099 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5654, 55bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5756a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
5846, 57bitr2d 279 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)))
5939, 41, 583bitrd 304 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)))
6037, 59anbi12d 631 . 2 (πœ‘ β†’ (((lim supβ€˜πΉ) β‰  -∞ ∧ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯))))
619, 60bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2882   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3459   βŠ† wss 3928   class class class wbr 5125  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  β„cr 11074  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  β„*cxr 11212   < clt 11213   ≀ cle 11214  lim supclsp 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-ico 13295  df-limsup 15380
This theorem is referenced by:  limsupre2  44119
  Copyright terms: Public domain W3C validator