Theorem 3optocl 4841

Description: Implicit substitution of classes for ordered pairs. (Contributed by NM, 12-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
3optocl.1	⊢ R = (D × F)
3optocl.2	⊢ (⟨x, y⟩ = A → (φ ↔ ψ))
3optocl.3	⊢ (⟨z, w⟩ = B → (ψ ↔ χ))
3optocl.4	⊢ (⟨v, u⟩ = C → (χ ↔ θ))
3optocl.5	⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ F) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ F) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ F)) → φ)

Assertion

Ref	Expression
3optocl	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ C ∈ R) → θ)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   z,B,w,v,u   v,C,u   x,D,y,z,w,v,u   x,F,y,z,w,v,u   z,R,w,v,u   ψ,x,y   χ,z,w   θ,v,u

Allowed substitution hints:   φ(x,y,z,w,v,u)   ψ(z,w,v,u)   χ(x,y,v,u)   θ(x,y,z,w)   B(x,y)   C(x,y,z,w)   R(x,y)

Proof of Theorem 3optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3optocl.1	. . . 4 ⊢ R = (D × F)
2		3optocl.4	. . . . 5 ⊢ (⟨v, u⟩ = C → (χ ↔ θ))
3	2	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ (⟨v, u⟩ = C → (((A ∈ R ∧ B ∈ R) → χ) ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → θ)))
4		3optocl.2	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (φ ↔ ψ))
5	4	imbi2d 307	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (((v ∈ D ∧ u ∈ F) → φ) ↔ ((v ∈ D ∧ u ∈ F) → ψ)))
6		3optocl.3	. . . . . . 7 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → (ψ ↔ χ))
7	6	imbi2d 307	. . . . . 6 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → (((v ∈ D ∧ u ∈ F) → ψ) ↔ ((v ∈ D ∧ u ∈ F) → χ)))
8		3optocl.5	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ F) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ F) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ F)) → φ)
9	8	3expia 1153	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ F) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ F)) → ((v ∈ D ∧ u ∈ F) → φ))
10	1, 5, 7, 9	2optocl 4840	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → ((v ∈ D ∧ u ∈ F) → χ))
11	10	com12 27	. . . 4 ⊢ ((v ∈ D ∧ u ∈ F) → ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → χ))
12	1, 3, 11	optocl 4839	. . 3 ⊢ (C ∈ R → ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → θ))
13	12	impcom 419	. 2 ⊢ (((A ∈ R ∧ B ∈ R) ∧ C ∈ R) → θ)
14	13	3impa 1146	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ C ∈ R) → θ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562   × cxp 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-xp 4785

This theorem is referenced by: (None)