Theorem optocl 4839

Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	⊢ D = (B × C)
optocl.2	⊢ (⟨x, y⟩ = A → (φ ↔ ψ))
optocl.3	⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ C) → φ)

Assertion

Ref	Expression
optocl	⊢ (A ∈ D → ψ)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   ψ,x,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   D(x,y)

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp3 4832	. . 3 ⊢ (A ∈ (B × C) ↔ ∃x∃y(⟨x, y⟩ = A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (B × C)))
2		opelxp 4812	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (B × C) ↔ (x ∈ B ∧ y ∈ C))
3		optocl.3	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ C) → φ)
4	2, 3	sylbi 187	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (B × C) → φ)
5		optocl.2	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (φ ↔ ψ))
6	4, 5	syl5ib 210	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ ∈ (B × C) → ψ))
7	6	imp 418	. . . 4 ⊢ ((⟨x, y⟩ = A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (B × C)) → ψ)
8	7	exlimivv 1635	. . 3 ⊢ (∃x∃y(⟨x, y⟩ = A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (B × C)) → ψ)
9	1, 8	sylbi 187	. 2 ⊢ (A ∈ (B × C) → ψ)
10		optocl.1	. 2 ⊢ D = (B × C)
11	9, 10	eleq2s 2445	1 ⊢ (A ∈ D → ψ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562   × cxp 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-xp 4785

This theorem is referenced by:  2optocl  4840  3optocl  4841  ecoptocl  5997