Theorem extex 5916

Description: The class of all extensional relationships is a set. (Contributed by SF, 19-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
extex	⊢ Ext ∈ V

Proof of Theorem extex

Dummy variables p a r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ext 5908	. . 3 ⊢ Ext = {⟨r, a⟩ ∣ ∀x ∈ a ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y)}
2		vex 2863	. . . . . . 7 ⊢ r ∈ V
3		vex 2863	. . . . . . 7 ⊢ a ∈ V
4	2, 3	opex 4589	. . . . . 6 ⊢ ⟨r, a⟩ ∈ V
5	4	elcompl 3226	. . . . 5 ⊢ (⟨r, a⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ↔ ¬ ⟨r, a⟩ ∈ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c))
6		elin 3220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) ↔ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ∧ ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)))
7	2	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{x}, a⟩ ∈ S )
8		vex 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ x ∈ V
9	8, 3	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨{x}, a⟩ ∈ S ↔ x ∈ a)
10	7, 9	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ x ∈ a)
11		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) ↔ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ∧ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )))
12		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {x} ∈ V
13	12	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ↔ ⟨{y}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S )
14	2	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨{y}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{y}, a⟩ ∈ S )
15		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ y ∈ V
16	15, 3	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨{y}, a⟩ ∈ S ↔ y ∈ a)
17	13, 14, 16	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ↔ y ∈ a)
18		eldif 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I ) ↔ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∧ ¬ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins3 I ))
19		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {y} ∈ V
20	12, 4	opex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ V
21	19, 20	opex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ V
22	21	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ↔ ¬ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c))
23		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) ↔ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 S ∧ ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))))
24	19	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 S ↔ ⟨{z}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S )
25	12	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨{z}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ↔ ⟨{z}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S )
26	2	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨{z}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{z}, a⟩ ∈ S )
27		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ z ∈ V
28	27, 3	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨{z}, a⟩ ∈ S ↔ z ∈ a)
29	26, 28	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨{z}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ z ∈ a)
30	24, 25, 29	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 S ↔ z ∈ a)
31		elsymdif 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c)) ↔ ¬ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c)))
32	19	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ ⟨{z}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c))
33		elima1c 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ ∃p⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ))
34		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) ↔ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ∧ ⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ))
35	2	oqelins4 5795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ↔ ⟨{p}, ⟨{z}, {x}⟩⟩ ∈ SI3 I )
36		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ p ∈ V
37	36, 27, 8	otsnelsi3 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, {x}⟩⟩ ∈ SI3 I ↔ ⟨p, ⟨z, x⟩⟩ ∈ I )
38		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (p I ⟨z, x⟩ ↔ ⟨p, ⟨z, x⟩⟩ ∈ I )
39	27, 8	opex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ⟨z, x⟩ ∈ V
40	39	ideq 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (p I ⟨z, x⟩ ↔ p = ⟨z, x⟩)
41	37, 38, 40	3bitr2i 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, {x}⟩⟩ ∈ SI3 I ↔ p = ⟨z, x⟩)
42	35, 41	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ↔ p = ⟨z, x⟩)
43		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {z} ∈ V
44	43	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ↔ ⟨{p}, ⟨{x}, r⟩⟩ ∈ Ins2 S )
45	12	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟨{p}, ⟨{x}, r⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{p}, r⟩ ∈ S )
46	36, 2	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟨{p}, r⟩ ∈ S ↔ p ∈ r)
47	44, 45, 46	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ↔ p ∈ r)
48	42, 47	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ∧ ⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ) ↔ (p = ⟨z, x⟩ ∧ p ∈ r))
49	34, 48	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) ↔ (p = ⟨z, x⟩ ∧ p ∈ r))
50	49	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃p⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) ↔ ∃p(p = ⟨z, x⟩ ∧ p ∈ r))
51	33, 50	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ ∃p(p = ⟨z, x⟩ ∧ p ∈ r))
52	3	oqelins4 5795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨{z}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ ⟨{z}, ⟨{x}, r⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c))
53		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (zrx ↔ ⟨z, x⟩ ∈ r)
54		df-clel 2349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟨z, x⟩ ∈ r ↔ ∃p(p = ⟨z, x⟩ ∧ p ∈ r))
55	53, 54	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (zrx ↔ ∃p(p = ⟨z, x⟩ ∧ p ∈ r))
56	51, 52, 55	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟨{z}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ zrx)
57	32, 56	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ zrx)
58		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) ↔ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ∧ ⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ))
59	20	oqelins4 5795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ↔ ⟨{p}, ⟨{z}, {y}⟩⟩ ∈ SI3 I )
60	36, 27, 15	otsnelsi3 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, {y}⟩⟩ ∈ SI3 I ↔ ⟨p, ⟨z, y⟩⟩ ∈ I )
61		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (p I ⟨z, y⟩ ↔ ⟨p, ⟨z, y⟩⟩ ∈ I )
62	27, 15	opex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ⟨z, y⟩ ∈ V
63	62	ideq 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (p I ⟨z, y⟩ ↔ p = ⟨z, y⟩)
64	60, 61, 63	3bitr2i 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, {y}⟩⟩ ∈ SI3 I ↔ p = ⟨z, y⟩)
65	59, 64	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ↔ p = ⟨z, y⟩)
66	43	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ↔ ⟨{p}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins3 S )
67	19	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨{p}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins3 S ↔ ⟨{p}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins3 S )
68	12	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨{p}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins3 S ↔ ⟨{p}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins3 S )
69	3	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨{p}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{p}, r⟩ ∈ S )
70	68, 69, 46	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨{p}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins3 S ↔ p ∈ r)
71	66, 67, 70	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ↔ p ∈ r)
72	65, 71	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins4 SI3 I ∧ ⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) ↔ (p = ⟨z, y⟩ ∧ p ∈ r))
73	58, 72	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) ↔ (p = ⟨z, y⟩ ∧ p ∈ r))
74	73	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃p⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) ↔ ∃p(p = ⟨z, y⟩ ∧ p ∈ r))
75		elima1c 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c) ↔ ∃p⟨{p}, ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ))
76		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (zry ↔ ⟨z, y⟩ ∈ r)
77		df-clel 2349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨z, y⟩ ∈ r ↔ ∃p(p = ⟨z, y⟩ ∧ p ∈ r))
78	76, 77	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (zry ↔ ∃p(p = ⟨z, y⟩ ∧ p ∈ r))
79	74, 75, 78	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c) ↔ zry)
80	57, 79	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ↔ ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c)) ↔ (zrx ↔ zry))
81	31, 80	xchbinx 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c)) ↔ ¬ (zrx ↔ zry))
82	30, 81	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 Ins2 S ∧ ⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) ↔ (z ∈ a ∧ ¬ (zrx ↔ zry)))
83	23, 82	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) ↔ (z ∈ a ∧ ¬ (zrx ↔ zry)))
84	83	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃z⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) ↔ ∃z(z ∈ a ∧ ¬ (zrx ↔ zry)))
85		elima1c 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ↔ ∃z⟨{z}, ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))))
86		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃z ∈ a ¬ (zrx ↔ zry) ↔ ∃z(z ∈ a ∧ ¬ (zrx ↔ zry)))
87	84, 85, 86	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ↔ ∃z ∈ a ¬ (zrx ↔ zry))
88	22, 87	xchbinx 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ↔ ¬ ∃z ∈ a ¬ (zrx ↔ zry))
89		dfral2 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ↔ ¬ ∃z ∈ a ¬ (zrx ↔ zry))
90	88, 89	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ↔ ∀z ∈ a (zrx ↔ zry))
91	4	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins3 I ↔ ⟨{y}, {x}⟩ ∈ I )
92		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({y} I {x} ↔ ⟨{y}, {x}⟩ ∈ I )
93	12	ideq 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({y} I {x} ↔ {y} = {x})
94	15	sneqb 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({y} = {x} ↔ y = x)
95		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y = x ↔ x = y)
96	93, 94, 95	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({y} I {x} ↔ x = y)
97	91, 92, 96	3bitr2i 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins3 I ↔ x = y)
98	97	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins3 I ↔ ¬ x = y)
99	90, 98	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∧ ¬ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins3 I ) ↔ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y))
100	18, 99	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I ) ↔ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y))
101	17, 100	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ Ins2 Ins2 S ∧ ⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) ↔ (y ∈ a ∧ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y)))
102	11, 101	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) ↔ (y ∈ a ∧ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y)))
103	102	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃y⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) ↔ ∃y(y ∈ a ∧ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y)))
104		elima1c 4948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c) ↔ ∃y⟨{y}, ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩⟩ ∈ ( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )))
105		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y) ↔ ∃y(y ∈ a ∧ (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y)))
106	103, 104, 105	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c) ↔ ∃y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y))
107		rexanali 2661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) ∧ ¬ x = y) ↔ ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y))
108	106, 107	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c) ↔ ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y))
109	10, 108	anbi12i 678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ Ins2 S ∧ ⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) ↔ (x ∈ a ∧ ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y)))
110	6, 109	bitri 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) ↔ (x ∈ a ∧ ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y)))
111	110	exbii 1582	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) ↔ ∃x(x ∈ a ∧ ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y)))
112		elima1c 4948	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨r, a⟩ ∈ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ↔ ∃x⟨{x}, ⟨r, a⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)))
113		df-rex 2621	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x ∈ a ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y) ↔ ∃x(x ∈ a ∧ ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y)))
114	111, 112, 113	3bitr4i 268	. . . . . . 7 ⊢ (⟨r, a⟩ ∈ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ↔ ∃x ∈ a ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y))
115		rexnal 2626	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ a ¬ ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y) ↔ ¬ ∀x ∈ a ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y))
116	114, 115	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (⟨r, a⟩ ∈ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ↔ ¬ ∀x ∈ a ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y))
117	116	con2bii 322	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ a ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y) ↔ ¬ ⟨r, a⟩ ∈ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c))
118	5, 117	bitr4i 243	. . . 4 ⊢ (⟨r, a⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ↔ ∀x ∈ a ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y))
119	118	opabbi2i 4867	. . 3 ⊢ ∼ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) = {⟨r, a⟩ ∣ ∀x ∈ a ∀y ∈ a (∀z ∈ a (zrx ↔ zry) → x = y)}
120	1, 119	eqtr4i 2376	. 2 ⊢ Ext = ∼ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c)
121		ssetex 4745	. . . . . 6 ⊢ S ∈ V
122	121	ins2ex 5798	. . . . 5 ⊢ Ins2 S ∈ V
123	122	ins2ex 5798	. . . . . . 7 ⊢ Ins2 Ins2 S ∈ V
124	123	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ins2 Ins2 Ins2 S ∈ V
125		idex 5505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ I ∈ V
126	125	si3ex 5807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ SI3 I ∈ V
127	126	ins4ex 5800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ins4 SI3 I ∈ V
128	127, 123	inex 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) ∈ V
129		1cex 4143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1c ∈ V
130	128, 129	imaex 4748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ∈ V
131	130	ins4ex 5800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ∈ V
132	131	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ∈ V
133	121	ins3ex 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ins3 S ∈ V
134	133	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ins2 Ins3 S ∈ V
135	134	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ins2 Ins2 Ins3 S ∈ V
136	135	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ∈ V
137	127, 136	inex 4106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) ∈ V
138	137, 129	imaex 4748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c) ∈ V
139	132, 138	symdifex 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c)) ∈ V
140	124, 139	inex 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) ∈ V
141	140, 129	imaex 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∈ V
142	141	complex 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∈ V
143	125	ins3ex 5799	. . . . . . . 8 ⊢ Ins3 I ∈ V
144	142, 143	difex 4108	. . . . . . 7 ⊢ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I ) ∈ V
145	123, 144	inex 4106	. . . . . 6 ⊢ ( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) ∈ V
146	145, 129	imaex 4748	. . . . 5 ⊢ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c) ∈ V
147	122, 146	inex 4106	. . . 4 ⊢ ( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) ∈ V
148	147, 129	imaex 4748	. . 3 ⊢ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ∈ V
149	148	complex 4105	. 2 ⊢ ∼ (( Ins2 S ∩ (( Ins2 Ins2 S ∩ ( ∼ (( Ins2 Ins2 Ins2 S ∩ ( Ins2 Ins4 (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 S ) “ 1c) ⊕ (( Ins4 SI3 I ∩ Ins2 Ins2 Ins2 Ins3 S ) “ 1c))) “ 1c) ∖ Ins3 I )) “ 1c)) “ 1c) ∈ V
150	120, 149	eqeltri 2423	1 ⊢ Ext ∈ V

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ∖ cdif 3207   ∩ cin 3209   ⊕ csymdif 3210  {csn 3738  1_cc1c 4135  ⟨cop 4562  {copab 4623   class class class wbr 4640   S csset 4720   “ cima 4723   I cid 4764   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752   Ins4 cins4 5756   SI₃ csi3 5758   Ext cext 5897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-cnv 4786  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-ext 5908

This theorem is used by: (None)