Theorem vfinspsslem1 4551

Description: Lemma for vfinspss 4552. Establish part of the inductive step. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfinspsslem1	⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x)

Distinct variable group:   z,n,x

Proof of Theorem vfinspsslem1

Dummy variables a b p g d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 443	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ n ∈ Spfin ) → V ∈ Fin )
2		vfinspnn 4542	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin ⊆ ( Nn ∖ {∅}))
3		difss 3394	. . . . . . . 8 ⊢ ( Nn ∖ {∅}) ⊆ Nn
4	2, 3	syl6ss 3285	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin ⊆ Nn )
5	4	sselda 3274	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ n ∈ Spfin ) → n ∈ Nn )
6	2	sselda 3274	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ n ∈ Spfin ) → n ∈ ( Nn ∖ {∅}))
7		eldifsn 3840	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ ( Nn ∖ {∅}) ↔ (n ∈ Nn ∧ n ≠ ∅))
8	7	simprbi 450	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ ( Nn ∖ {∅}) → n ≠ ∅)
9	6, 8	syl 15	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ n ∈ Spfin ) → n ≠ ∅)
10		vfintle 4547	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ n ∈ Nn ∧ n ≠ ∅) → ⟪ Tfin n, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )
11	1, 5, 9, 10	syl3anc 1182	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ n ∈ Spfin ) → ⟪ Tfin n, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )
12	11	ad2ant2r 727	. . . 4 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ⟪ Tfin n, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )
13		t1csfin1c 4546	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → Sfin ( Tfin Ncfin 1c, Ncfin 1c))
14	13	adantr 451	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) → Sfin ( Tfin Ncfin 1c, Ncfin 1c))
15		simpr 447	. . . . . . 7 ⊢ ((n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n)) → Sfin (z, Tfin n))
16		sfinltfin 4536	. . . . . . . 8 ⊢ ((( Sfin ( Tfin Ncfin 1c, Ncfin 1c) ∧ Sfin (z, Tfin n)) ∧ ⟪ Tfin Ncfin 1c, z⟫ ∈ <fin ) → ⟪ Ncfin 1c, Tfin n⟫ ∈ <fin )
17	16	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (( Sfin ( Tfin Ncfin 1c, Ncfin 1c) ∧ Sfin (z, Tfin n)) → (⟪ Tfin Ncfin 1c, z⟫ ∈ <fin → ⟪ Ncfin 1c, Tfin n⟫ ∈ <fin ))
18	14, 15, 17	syl2an 463	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (⟪ Tfin Ncfin 1c, z⟫ ∈ <fin → ⟪ Ncfin 1c, Tfin n⟫ ∈ <fin ))
19	18	con3d 125	. . . . 5 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (¬ ⟪ Ncfin 1c, Tfin n⟫ ∈ <fin → ¬ ⟪ Tfin Ncfin 1c, z⟫ ∈ <fin ))
20	5	ad2ant2r 727	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → n ∈ Nn )
21		tfincl 4493	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → Tfin n ∈ Nn )
22	20, 21	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → Tfin n ∈ Nn )
23		1cex 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ 1c ∈ V
24		ncfinprop 4475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ 1c ∈ V) → ( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c))
25	23, 24	mpan2 652	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c))
26	25	ad2antrr 706	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c))
27	26	simpld 445	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → Ncfin 1c ∈ Nn )
28		lenltfin 4470	. . . . . 6 ⊢ (( Tfin n ∈ Nn ∧ Ncfin 1c ∈ Nn ) → (⟪ Tfin n, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ↔ ¬ ⟪ Ncfin 1c, Tfin n⟫ ∈ <fin ))
29	22, 27, 28	syl2anc 642	. . . . 5 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (⟪ Tfin n, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ↔ ¬ ⟪ Ncfin 1c, Tfin n⟫ ∈ <fin ))
30		df-sfin 4447	. . . . . . . 8 ⊢ ( Sfin (z, Tfin n) ↔ (z ∈ Nn ∧ Tfin n ∈ Nn ∧ ∃a(℘1a ∈ z ∧ ℘a ∈ Tfin n)))
31	30	simp1bi 970	. . . . . . 7 ⊢ ( Sfin (z, Tfin n) → z ∈ Nn )
32	31	ad2antll 709	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → z ∈ Nn )
33		tfincl 4493	. . . . . . 7 ⊢ ( Ncfin 1c ∈ Nn → Tfin Ncfin 1c ∈ Nn )
34	27, 33	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → Tfin Ncfin 1c ∈ Nn )
35		lenltfin 4470	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ Tfin Ncfin 1c ∈ Nn ) → (⟪z, Tfin Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ↔ ¬ ⟪ Tfin Ncfin 1c, z⟫ ∈ <fin ))
36	32, 34, 35	syl2anc 642	. . . . 5 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (⟪z, Tfin Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ↔ ¬ ⟪ Tfin Ncfin 1c, z⟫ ∈ <fin ))
37	19, 29, 36	3imtr4d 259	. . . 4 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (⟪ Tfin n, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin → ⟪z, Tfin Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ))
38	12, 37	mpd 14	. . 3 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ⟪z, Tfin Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )
39		vex 2863	. . . 4 ⊢ z ∈ V
40		tfinex 4486	. . . 4 ⊢ Tfin Ncfin 1c ∈ V
41		opklefing 4449	. . . 4 ⊢ ((z ∈ V ∧ Tfin Ncfin 1c ∈ V) → (⟪z, Tfin Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ↔ ∃p ∈ Nn Tfin Ncfin 1c = (z +c p)))
42	39, 40, 41	mp2an 653	. . 3 ⊢ (⟪z, Tfin Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ↔ ∃p ∈ Nn Tfin Ncfin 1c = (z +c p))
43	38, 42	sylib 188	. 2 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ∃p ∈ Nn Tfin Ncfin 1c = (z +c p))
44		df1c2 4169	. . . . . . 7 ⊢ 1c = ℘1V
45		pw1eq 4144	. . . . . . 7 ⊢ (1c = ℘1V → ℘11c = ℘1℘1V)
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℘11c = ℘1℘1V
47		tfinpw1 4495	. . . . . . 7 ⊢ (( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c) → ℘11c ∈ Tfin Ncfin 1c)
48	26, 47	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ℘11c ∈ Tfin Ncfin 1c)
49	46, 48	syl5eqelr 2438	. . . . 5 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ℘1℘1V ∈ Tfin Ncfin 1c)
50		eleq2 2414	. . . . 5 ⊢ ( Tfin Ncfin 1c = (z +c p) → (℘1℘1V ∈ Tfin Ncfin 1c ↔ ℘1℘1V ∈ (z +c p)))
51	49, 50	syl5ibcom 211	. . . 4 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ( Tfin Ncfin 1c = (z +c p) → ℘1℘1V ∈ (z +c p)))
52		eladdc 4399	. . . . 5 ⊢ (℘1℘1V ∈ (z +c p) ↔ ∃a ∈ z ∃b ∈ p ((a ∩ b) = ∅ ∧ ℘1℘1V = (a ∪ b)))
53		ssun1 3427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ a ⊆ (a ∪ b)
54		sseq2 3294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (℘1℘1V = (a ∪ b) → (a ⊆ ℘1℘1V ↔ a ⊆ (a ∪ b)))
55	53, 54	mpbiri 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℘1℘1V = (a ∪ b) → a ⊆ ℘1℘1V)
56		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ a ∈ V
57	56	sspw1 4336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (a ⊆ ℘1℘1V ↔ ∃g(g ⊆ ℘1V ∧ a = ℘1g))
58		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ g ∈ V
59	58	sspw1 4336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g ⊆ ℘1V ↔ ∃d(d ⊆ V ∧ g = ℘1d))
60		ssv 3292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ d ⊆ V
61	60	biantrur 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (g = ℘1d ↔ (d ⊆ V ∧ g = ℘1d))
62	61	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃d g = ℘1d ↔ ∃d(d ⊆ V ∧ g = ℘1d))
63	59, 62	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (g ⊆ ℘1V ↔ ∃d g = ℘1d)
64	63	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((g ⊆ ℘1V ∧ a = ℘1g) ↔ (∃d g = ℘1d ∧ a = ℘1g))
65		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃d(g = ℘1d ∧ a = ℘1g) ↔ (∃d g = ℘1d ∧ a = ℘1g))
66	64, 65	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((g ⊆ ℘1V ∧ a = ℘1g) ↔ ∃d(g = ℘1d ∧ a = ℘1g))
67	66	exbii 1582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃g(g ⊆ ℘1V ∧ a = ℘1g) ↔ ∃g∃d(g = ℘1d ∧ a = ℘1g))
68		excom 1741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃g∃d(g = ℘1d ∧ a = ℘1g) ↔ ∃d∃g(g = ℘1d ∧ a = ℘1g))
69		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ d ∈ V
70	69	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℘1d ∈ V
71		pw1eq 4144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g = ℘1d → ℘1g = ℘1℘1d)
72	71	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (g = ℘1d → (a = ℘1g ↔ a = ℘1℘1d))
73	70, 72	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃g(g = ℘1d ∧ a = ℘1g) ↔ a = ℘1℘1d)
74	73	exbii 1582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃d∃g(g = ℘1d ∧ a = ℘1g) ↔ ∃d a = ℘1℘1d)
75	68, 74	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃g∃d(g = ℘1d ∧ a = ℘1g) ↔ ∃d a = ℘1℘1d)
76	57, 67, 75	3bitri 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (a ⊆ ℘1℘1V ↔ ∃d a = ℘1℘1d)
77	55, 76	sylib 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (℘1℘1V = (a ∪ b) → ∃d a = ℘1℘1d)
78		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (a = ℘1℘1d → (a ∈ z ↔ ℘1℘1d ∈ z))
79	78	biimpac 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((a ∈ z ∧ a = ℘1℘1d) → ℘1℘1d ∈ z)
80	32	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ ℘1℘1d ∈ z) → z ∈ Nn )
81		ncfinprop 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ ℘1d ∈ V) → ( Ncfin ℘1d ∈ Nn ∧ ℘1d ∈ Ncfin ℘1d))
82	70, 81	mpan2 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin ℘1d ∈ Nn ∧ ℘1d ∈ Ncfin ℘1d))
83	82	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ( Ncfin ℘1d ∈ Nn ∧ ℘1d ∈ Ncfin ℘1d))
84	83	simpld 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → Ncfin ℘1d ∈ Nn )
85		tfincl 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( Ncfin ℘1d ∈ Nn → Tfin Ncfin ℘1d ∈ Nn )
86	84, 85	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → Tfin Ncfin ℘1d ∈ Nn )
87	86	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ ℘1℘1d ∈ z) → Tfin Ncfin ℘1d ∈ Nn )
88		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ ℘1℘1d ∈ z) → ℘1℘1d ∈ z)
89		tfinpw1 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( Ncfin ℘1d ∈ Nn ∧ ℘1d ∈ Ncfin ℘1d) → ℘1℘1d ∈ Tfin Ncfin ℘1d)
90	83, 89	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ℘1℘1d ∈ Tfin Ncfin ℘1d)
91	90	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ ℘1℘1d ∈ z) → ℘1℘1d ∈ Tfin Ncfin ℘1d)
92		nnceleq 4431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((z ∈ Nn ∧ Tfin Ncfin ℘1d ∈ Nn ) ∧ (℘1℘1d ∈ z ∧ ℘1℘1d ∈ Tfin Ncfin ℘1d)) → z = Tfin Ncfin ℘1d)
93	80, 87, 88, 91, 92	syl22anc 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ ℘1℘1d ∈ z) → z = Tfin Ncfin ℘1d)
94	93	ex 423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (℘1℘1d ∈ z → z = Tfin Ncfin ℘1d))
95	5	ad2ant2r 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → n ∈ Nn )
96	69	pwex 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℘d ∈ V
97		ncfinprop 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ ℘d ∈ V) → ( Ncfin ℘d ∈ Nn ∧ ℘d ∈ Ncfin ℘d))
98	96, 97	mpan2 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin ℘d ∈ Nn ∧ ℘d ∈ Ncfin ℘d))
99	98	simpld 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin ℘d ∈ Nn )
100	99	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Ncfin ℘d ∈ Nn )
101		simprr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))
102	82	simpld 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin ℘1d ∈ Nn )
103	82	simprd 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (V ∈ Fin → ℘1d ∈ Ncfin ℘1d)
104	98	simprd 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (V ∈ Fin → ℘d ∈ Ncfin ℘d)
105		pw1eq 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (a = d → ℘1a = ℘1d)
106	105	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (a = d → (℘1a ∈ Ncfin ℘1d ↔ ℘1d ∈ Ncfin ℘1d))
107		pweq 3726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (a = d → ℘a = ℘d)
108	107	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (a = d → (℘a ∈ Ncfin ℘d ↔ ℘d ∈ Ncfin ℘d))
109	106, 108	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (a = d → ((℘1a ∈ Ncfin ℘1d ∧ ℘a ∈ Ncfin ℘d) ↔ (℘1d ∈ Ncfin ℘1d ∧ ℘d ∈ Ncfin ℘d)))
110	69, 109	spcev 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((℘1d ∈ Ncfin ℘1d ∧ ℘d ∈ Ncfin ℘d) → ∃a(℘1a ∈ Ncfin ℘1d ∧ ℘a ∈ Ncfin ℘d))
111	103, 104, 110	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (V ∈ Fin → ∃a(℘1a ∈ Ncfin ℘1d ∧ ℘a ∈ Ncfin ℘d))
112		df-sfin 4447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ( Sfin ( Ncfin ℘1d, Ncfin ℘d) ↔ ( Ncfin ℘1d ∈ Nn ∧ Ncfin ℘d ∈ Nn ∧ ∃a(℘1a ∈ Ncfin ℘1d ∧ ℘a ∈ Ncfin ℘d)))
113	102, 99, 111, 112	syl3anbrc 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (V ∈ Fin → Sfin ( Ncfin ℘1d, Ncfin ℘d))
114	113	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Sfin ( Ncfin ℘1d, Ncfin ℘d))
115		sfintfin 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( Sfin ( Ncfin ℘1d, Ncfin ℘d) → Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin Ncfin ℘d))
116	114, 115	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin Ncfin ℘d))
117		sfin112 4530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n) ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin Ncfin ℘d)) → Tfin n = Tfin Ncfin ℘d)
118	101, 116, 117	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Tfin n = Tfin Ncfin ℘d)
119		tfin11 4494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ Ncfin ℘d ∈ Nn ∧ Tfin n = Tfin Ncfin ℘d) → n = Ncfin ℘d)
120	95, 100, 118, 119	syl3anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → n = Ncfin ℘d)
121		simprl 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → n ∈ Spfin )
122	120, 121	eqeltrrd 2428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Ncfin ℘d ∈ Spfin )
123		spfinsfincl 4540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( Ncfin ℘d ∈ Spfin ∧ Sfin ( Ncfin ℘1d, Ncfin ℘d)) → Ncfin ℘1d ∈ Spfin )
124	122, 114, 123	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → Ncfin ℘1d ∈ Spfin )
125		risset 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( Ncfin ℘1d ∈ Spfin ↔ ∃x ∈ Spfin x = Ncfin ℘1d)
126		tfineq 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x = Ncfin ℘1d → Tfin x = Tfin Ncfin ℘1d)
127	126	eqcomd 2358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x = Ncfin ℘1d → Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x)
128	127	reximi 2722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃x ∈ Spfin x = Ncfin ℘1d → ∃x ∈ Spfin Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x)
129	125, 128	sylbi 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( Ncfin ℘1d ∈ Spfin → ∃x ∈ Spfin Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x)
130	124, 129	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → ∃x ∈ Spfin Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x)
131		sfineq1 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → ( Sfin (z, Tfin n) ↔ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n)))
132	131	anbi2d 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → ((n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n)) ↔ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))))
133	132	anbi2d 684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ↔ ((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n)))))
134		eqeq1 2359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → (z = Tfin x ↔ Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x))
135	134	rexbidv 2636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → (∃x ∈ Spfin z = Tfin x ↔ ∃x ∈ Spfin Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x))
136	133, 135	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x) ↔ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin ( Tfin Ncfin ℘1d, Tfin n))) → ∃x ∈ Spfin Tfin Ncfin ℘1d = Tfin x)))
137	130, 136	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = Tfin Ncfin ℘1d → (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
138	137	com12 27	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (z = Tfin Ncfin ℘1d → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
139	94, 138	syld 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (℘1℘1d ∈ z → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
140	79, 139	syl5 28	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ((a ∈ z ∧ a = ℘1℘1d) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
141	140	expdimp 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ a ∈ z) → (a = ℘1℘1d → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
142	141	exlimdv 1636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ a ∈ z) → (∃d a = ℘1℘1d → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
143	77, 142	syl5 28	. . . . . . . 8 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ a ∈ z) → (℘1℘1V = (a ∪ b) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
144	143	adantld 453	. . . . . . 7 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ a ∈ z) → (((a ∩ b) = ∅ ∧ ℘1℘1V = (a ∪ b)) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
145	144	adantrr 697	. . . . . 6 ⊢ ((((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) ∧ (a ∈ z ∧ b ∈ p)) → (((a ∩ b) = ∅ ∧ ℘1℘1V = (a ∪ b)) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
146	145	rexlimdvva 2746	. . . . 5 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (∃a ∈ z ∃b ∈ p ((a ∩ b) = ∅ ∧ ℘1℘1V = (a ∪ b)) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
147	52, 146	syl5bi 208	. . . 4 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (℘1℘1V ∈ (z +c p) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
148	51, 147	syld 40	. . 3 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ( Tfin Ncfin 1c = (z +c p) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
149	148	rexlimdvw 2742	. 2 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → (∃p ∈ Nn Tfin Ncfin 1c = (z +c p) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x))
150	43, 149	mpd 14	1 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ Tfin n ∈ Spfin ) ∧ (n ∈ Spfin ∧ Sfin (z, Tfin n))) → ∃x ∈ Spfin z = Tfin x)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3258  ∅c0 3551  ℘cpw 3723  {csn 3738  ⟪copk 4058  1_cc1c 4135  ℘₁cpw1 4136   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   Fin cfin 4377   ≤_fin clefin 4433   <_fin cltfin 4434   Nc_fin cncfin 4435   T_fin ctfin 4436   S_fin wsfin 4439   Sp_fin cspfin 4440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-sfin 4447  df-spfin 4448

This theorem is referenced by:  vfinspss  4552