Theorem tfinprop 4490

Description: Properties of the finite T operator for a nonempty natural. Theorem X.1.28 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfinprop	⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ Tfin M))

Distinct variable group:   M,a

Proof of Theorem tfinprop

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tfin 4444	. . 3 ⊢ Tfin M = if(M = ∅, ∅, (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)))
2		df-ne 2519	. . . . . 6 ⊢ (M ≠ ∅ ↔ ¬ M = ∅)
3		iffalse 3670	. . . . . 6 ⊢ (¬ M = ∅ → if(M = ∅, ∅, (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n))) = (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)))
4	2, 3	sylbi 187	. . . . 5 ⊢ (M ≠ ∅ → if(M = ∅, ∅, (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n))) = (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)))
5	4	adantl 452	. . . 4 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → if(M = ∅, ∅, (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n))) = (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)))
6		nnpw1ex 4485	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ∃!n ∈ Nn ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)
7		reiotacl 4365	. . . . 5 ⊢ (∃!n ∈ Nn ∃a ∈ M ℘1a ∈ n → (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)) ∈ Nn )
8	6, 7	syl 15	. . . 4 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)) ∈ Nn )
9	5, 8	eqeltrd 2427	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → if(M = ∅, ∅, (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n))) ∈ Nn )
10	1, 9	syl5eqel 2437	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → Tfin M ∈ Nn )
11	1, 5	syl5req 2398	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)) = Tfin M)
12	10, 6	jca 518	. . . 4 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃!n ∈ Nn ∃a ∈ M ℘1a ∈ n))
13		eleq2 2414	. . . . . 6 ⊢ (n = Tfin M → (℘1a ∈ n ↔ ℘1a ∈ Tfin M))
14	13	rexbidv 2636	. . . . 5 ⊢ (n = Tfin M → (∃a ∈ M ℘1a ∈ n ↔ ∃a ∈ M ℘1a ∈ Tfin M))
15	14	reiota2 4369	. . . 4 ⊢ (( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃!n ∈ Nn ∃a ∈ M ℘1a ∈ n) → (∃a ∈ M ℘1a ∈ Tfin M ↔ (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)) = Tfin M))
16	12, 15	syl 15	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → (∃a ∈ M ℘1a ∈ Tfin M ↔ (℩n(n ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ n)) = Tfin M))
17	11, 16	mpbird 223	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ∃a ∈ M ℘1a ∈ Tfin M)
18	10, 17	jca 518	1 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃a ∈ M ℘1a ∈ Tfin M))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  ∃!wreu 2617  ∅c0 3551   ifcif 3663  ℘₁cpw1 4136  ℩cio 4338   Nn cnnc 4374   T_fin ctfin 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-tfin 4444

This theorem is referenced by:  tfinnnul  4491  tfincl  4493  tfin11  4494  tfinpw1  4495  tfinltfinlem1  4501  tfinltfin  4502  eventfin  4518  oddtfin  4519  sfinltfin  4536  vfinncvntnn  4549