New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  tfinprop GIF version

Theorem tfinprop 4489
 Description: Properties of the finite T operator for a nonempty natural. Theorem X.1.28 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tfinprop ((M Nn M) → ( Tfin M Nn a M 1a Tfin M))
Distinct variable group:   M,a

Proof of Theorem tfinprop
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tfin 4443 . . 3 Tfin M = if(M = , , (℩n(n Nn a M 1a n)))
2 df-ne 2518 . . . . . 6 (M ↔ ¬ M = )
3 iffalse 3669 . . . . . 6 M = → if(M = , , (℩n(n Nn a M 1a n))) = (℩n(n Nn a M 1a n)))
42, 3sylbi 187 . . . . 5 (M → if(M = , , (℩n(n Nn a M 1a n))) = (℩n(n Nn a M 1a n)))
54adantl 452 . . . 4 ((M Nn M) → if(M = , , (℩n(n Nn a M 1a n))) = (℩n(n Nn a M 1a n)))
6 nnpw1ex 4484 . . . . 5 ((M Nn M) → ∃!n Nn a M 1a n)
7 reiotacl 4364 . . . . 5 (∃!n Nn a M 1a n → (℩n(n Nn a M 1a n)) Nn )
86, 7syl 15 . . . 4 ((M Nn M) → (℩n(n Nn a M 1a n)) Nn )
95, 8eqeltrd 2427 . . 3 ((M Nn M) → if(M = , , (℩n(n Nn a M 1a n))) Nn )
101, 9syl5eqel 2437 . 2 ((M Nn M) → Tfin M Nn )
111, 5syl5req 2398 . . 3 ((M Nn M) → (℩n(n Nn a M 1a n)) = Tfin M)
1210, 6jca 518 . . . 4 ((M Nn M) → ( Tfin M Nn ∃!n Nn a M 1a n))
13 eleq2 2414 . . . . . 6 (n = Tfin M → (1a n1a Tfin M))
1413rexbidv 2635 . . . . 5 (n = Tfin M → (a M 1a na M 1a Tfin M))
1514reiota2 4368 . . . 4 (( Tfin M Nn ∃!n Nn a M 1a n) → (a M 1a Tfin M ↔ (℩n(n Nn a M 1a n)) = Tfin M))
1612, 15syl 15 . . 3 ((M Nn M) → (a M 1a Tfin M ↔ (℩n(n Nn a M 1a n)) = Tfin M))
1711, 16mpbird 223 . 2 ((M Nn M) → a M 1a Tfin M)
1810, 17jca 518 1 ((M Nn M) → ( Tfin M Nn a M 1a Tfin M))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∃!wreu 2616  ∅c0 3550   ifcif 3662  ℘1cpw1 4135  ℩cio 4337   Nn cnnc 4373   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  tfinnnul  4490  tfincl  4492  tfin11  4493  tfinpw1  4494  tfinltfinlem1  4500  tfinltfin  4501  eventfin  4517  oddtfin  4518  sfinltfin  4535  vfinncvntnn  4548
 Copyright terms: Public domain W3C validator