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Theorem vfinncsp 4554
 Description: If the universe is finite, then the size of Spfin is equal to the successor of its T-raising. Theorem X.1.62 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinncsp (V FinNcfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))

Proof of Theorem vfinncsp
Dummy variables x a t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vfinspeqtncv 4553 . . 3 (V FinSpfin = ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
2 ncfineq 4473 . . 3 ( Spfin = ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) → Ncfin Spfin = Ncfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
31, 2syl 15 . 2 (V FinNcfin Spfin = Ncfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
4 vfinncvntsp 4549 . . . 4 (V Fin → ¬ Ncfin V {a x Spfin a = Tfin x})
5 disjsn 3786 . . . 4 (({a x Spfin a = Tfin x} ∩ { Ncfin V}) = ↔ ¬ Ncfin V {a x Spfin a = Tfin x})
64, 5sylibr 203 . . 3 (V Fin → ({a x Spfin a = Tfin x} ∩ { Ncfin V}) = )
7 vex 2862 . . . . . . . . 9 a V
87elimak 4259 . . . . . . . 8 (a ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) ↔ t 1 Spfint, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))))
9 df-rex 2620 . . . . . . . . 9 (t 1 Spfint, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ t(t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
10 elpw1 4144 . . . . . . . . . . . . 13 (t 1 Spfinx Spfin t = {x})
1110anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12 ((t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ (x Spfin t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
12 r19.41v 2764 . . . . . . . . . . . 12 (x Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ (x Spfin t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
1311, 12bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11 ((t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ x Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
1413exbii 1582 . . . . . . . . . 10 (t(t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ tx Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
15 rexcom4 2878 . . . . . . . . . 10 (x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ tx Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
1614, 15bitr4i 243 . . . . . . . . 9 (t(t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
179, 16bitri 240 . . . . . . . 8 (t 1 Spfint, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
188, 17bitri 240 . . . . . . 7 (a ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) ↔ x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
19 snex 4111 . . . . . . . . . 10 {x} V
20 opkeq1 4059 . . . . . . . . . . 11 (t = {x} → ⟪t, a⟫ = ⟪{x}, a⟫)
2120eleq1d 2419 . . . . . . . . . 10 (t = {x} → (⟪t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ ⟪{x}, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
2219, 21ceqsexv 2894 . . . . . . . . 9 (t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ ⟪{x}, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))))
23 vex 2862 . . . . . . . . . 10 x V
2423, 7eqtfinrelk 4486 . . . . . . . . 9 (⟪{x}, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ a = Tfin x)
2522, 24bitri 240 . . . . . . . 8 (t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ a = Tfin x)
2625rexbii 2639 . . . . . . 7 (x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ x Spfin a = Tfin x)
2718, 26bitri 240 . . . . . 6 (a ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) ↔ x Spfin a = Tfin x)
2827abbi2i 2464 . . . . 5 ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) = {a x Spfin a = Tfin x}
29 tfinrelkex 4487 . . . . . 6 (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) V
30 spfinex 4537 . . . . . . 7 Spfin V
3130pw1ex 4303 . . . . . 6 1 Spfin V
3229, 31imakex 4300 . . . . 5 ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) V
3328, 32eqeltrri 2424 . . . 4 {a x Spfin a = Tfin x} V
34 snex 4111 . . . . 5 { Ncfin V} V
35 ncfindi 4475 . . . . 5 (((V Fin {a x Spfin a = Tfin x} V) { Ncfin V} V ({a x Spfin a = Tfin x} ∩ { Ncfin V}) = ) → Ncfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) = ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} +c Ncfin { Ncfin V}))
3634, 35mp3an2 1265 . . . 4 (((V Fin {a x Spfin a = Tfin x} V) ({a x Spfin a = Tfin x} ∩ { Ncfin V}) = ) → Ncfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) = ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} +c Ncfin { Ncfin V}))
3733, 36mpanl2 662 . . 3 ((V Fin ({a x Spfin a = Tfin x} ∩ { Ncfin V}) = ) → Ncfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) = ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} +c Ncfin { Ncfin V}))
386, 37mpdan 649 . 2 (V FinNcfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) = ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} +c Ncfin { Ncfin V}))
39 ncfinprop 4474 . . . . . 6 ((V Fin {a x Spfin a = Tfin x} V) → ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} Nn {a x Spfin a = Tfin x} Ncfin {a x Spfin a = Tfin x}))
4033, 39mpan2 652 . . . . 5 (V Fin → ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} Nn {a x Spfin a = Tfin x} Ncfin {a x Spfin a = Tfin x}))
4140simpld 445 . . . 4 (V FinNcfin {a x Spfin a = Tfin x} Nn )
42 ncfinprop 4474 . . . . . . 7 ((V Fin Spfin V) → ( Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin ))
4330, 42mpan2 652 . . . . . 6 (V Fin → ( Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin ))
4443simpld 445 . . . . 5 (V FinNcfin Spfin Nn )
45 tfincl 4492 . . . . 5 ( Ncfin Spfin NnTfin Ncfin Spfin Nn )
4644, 45syl 15 . . . 4 (V FinTfin Ncfin Spfin Nn )
4740simprd 449 . . . 4 (V Fin → {a x Spfin a = Tfin x} Ncfin {a x Spfin a = Tfin x})
48 vfinspnn 4541 . . . . . 6 (V FinSpfin ( Nn {}))
49 difss 3393 . . . . . 6 ( Nn {}) Nn
5048, 49syl6ss 3284 . . . . 5 (V FinSpfin Nn )
5143simprd 449 . . . . 5 (V FinSpfin Ncfin Spfin )
52 tfinnn 4534 . . . . 5 (( Ncfin Spfin Nn Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin ) → {a x Spfin a = Tfin x} Tfin Ncfin Spfin )
5344, 50, 51, 52syl3anc 1182 . . . 4 (V Fin → {a x Spfin a = Tfin x} Tfin Ncfin Spfin )
54 nnceleq 4430 . . . 4 ((( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} Nn Tfin Ncfin Spfin Nn ) ({a x Spfin a = Tfin x} Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} {a x Spfin a = Tfin x} Tfin Ncfin Spfin )) → Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} = Tfin Ncfin Spfin )
5541, 46, 47, 53, 54syl22anc 1183 . . 3 (V FinNcfin {a x Spfin a = Tfin x} = Tfin Ncfin Spfin )
56 ncfinex 4472 . . . 4 Ncfin V V
57 ncfinsn 4476 . . . 4 ((V Fin Ncfin V V) → Ncfin { Ncfin V} = 1c)
5856, 57mpan2 652 . . 3 (V FinNcfin { Ncfin V} = 1c)
5955, 58addceq12d 4391 . 2 (V Fin → ( Ncfin {a x Spfin a = Tfin x} +c Ncfin { Ncfin V}) = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
603, 38, 593eqtrd 2389 1 (V FinNcfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∖ cdif 3206   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208   ⊕ csymdif 3209   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550  ℘cpw 3722  {csn 3737  ⟪copk 4057  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135   ×k cxpk 4174  ◡kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177   “k cimak 4179   SIk csik 4181   Sk cssetk 4183   Ik cidk 4184   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435   Spfin cspfin 4439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447 This theorem is referenced by:  vinf  4555
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