Theorem addassprg 7478

Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassprg	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( A +P. B ) +P. C ) = ( A +P. ( B +P. C ) ) )

Proof of Theorem addassprg

Dummy variables f g h v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iplp 7367	. 2 |- +P. = ( w e. P. , v e. P. |-> <. { x e. Q. | E. y e. Q. E. z e. Q. ( y e. ( 1st ` w ) /\ z e. ( 1st ` v ) /\ x = ( y +Q z ) ) } , { x e. Q. | E. y e. Q. E. z e. Q. ( y e. ( 2nd ` w ) /\ z e. ( 2nd ` v ) /\ x = ( y +Q z ) ) } >. )
2		addclnq 7274	. 2 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y +Q z ) e. Q. )
3		dmplp 7439	. 2 |- dom +P. = ( P. X. P. )
4		addclpr 7436	. 2 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> ( f +P. g ) e. P. )
5		addassnqg 7281	. 2 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	genpassg 7425	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( A +P. B ) +P. C ) = ( A +P. ( B +P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 2125  (class class class)co 5814   +Q cplq 7181   P.cnp 7190   +P. cpp 7192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-eprel 4244  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-omul 6358  df-er 6469  df-ec 6471  df-qs 6475  df-ni 7203  df-pli 7204  df-mi 7205  df-lti 7206  df-plpq 7243  df-mpq 7244  df-enq 7246  df-nqqs 7247  df-plqqs 7248  df-mqqs 7249  df-1nqqs 7250  df-rq 7251  df-ltnqqs 7252  df-enq0 7323  df-nq0 7324  df-0nq0 7325  df-plq0 7326  df-mq0 7327  df-inp 7365  df-iplp 7367

This theorem is referenced by:  ltaprlem  7517  ltaprg  7518  caucvgprlemcanl  7543  caucvgprprlemexb  7606  caucvgprprlemaddq  7607  enrer  7634  addcmpblnr  7638  mulcmpblnrlemg  7639  ltsrprg  7646  addasssrg  7655  mulasssrg  7657  distrsrg  7658  m1p1sr  7659  m1m1sr  7660  lttrsr  7661  ltsosr  7663  0idsr  7666  1idsr  7667  ltasrg  7669  recexgt0sr  7672  mulgt0sr  7677  mulextsr1lem  7679  srpospr  7682  prsradd  7685  prsrlt  7686  map2psrprg  7704  pitonnlem1p1  7745  pitoregt0  7748  recidpirqlemcalc  7756