Theorem addassprg 7411

Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassprg	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( A +P. B ) +P. C ) = ( A +P. ( B +P. C ) ) )

Proof of Theorem addassprg

Dummy variables f g h v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iplp 7300	. 2 |- +P. = ( w e. P. , v e. P. |-> <. { x e. Q. | E. y e. Q. E. z e. Q. ( y e. ( 1st ` w ) /\ z e. ( 1st ` v ) /\ x = ( y +Q z ) ) } , { x e. Q. | E. y e. Q. E. z e. Q. ( y e. ( 2nd ` w ) /\ z e. ( 2nd ` v ) /\ x = ( y +Q z ) ) } >. )
2		addclnq 7207	. 2 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y +Q z ) e. Q. )
3		dmplp 7372	. 2 |- dom +P. = ( P. X. P. )
4		addclpr 7369	. 2 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> ( f +P. g ) e. P. )
5		addassnqg 7214	. 2 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	genpassg 7358	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( A +P. B ) +P. C ) = ( A +P. ( B +P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   +Q cplq 7114   P.cnp 7123   +P. cpp 7125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-iplp 7300

This theorem is referenced by:  ltaprlem  7450  ltaprg  7451  caucvgprlemcanl  7476  caucvgprprlemexb  7539  caucvgprprlemaddq  7540  enrer  7567  addcmpblnr  7571  mulcmpblnrlemg  7572  ltsrprg  7579  addasssrg  7588  mulasssrg  7590  distrsrg  7591  m1p1sr  7592  m1m1sr  7593  lttrsr  7594  ltsosr  7596  0idsr  7599  1idsr  7600  ltasrg  7602  recexgt0sr  7605  mulgt0sr  7610  mulextsr1lem  7612  srpospr  7615  prsradd  7618  prsrlt  7619  map2psrprg  7637  pitonnlem1p1  7678  pitoregt0  7681  recidpirqlemcalc  7689