ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassprg Unicode version

Theorem addassprg 7085
Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassprg  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( A  +P.  B
)  +P.  C )  =  ( A  +P.  ( B  +P.  C ) ) )

Proof of Theorem addassprg
Dummy variables  f  g  h  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iplp 6974 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 1st `  w )  /\  z  e.  ( 1st `  v
)  /\  x  =  ( y  +Q  z
) ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y  +Q  z
) ) } >. )
2 addclnq 6881 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  z
)  e.  Q. )
3 dmplp 7046 . 2  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
4 addclpr 7043 . 2  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f  +P.  g
)  e.  P. )
5 addassnqg 6888 . 2  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpassg 7032 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( A  +P.  B
)  +P.  C )  =  ( A  +P.  ( B  +P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436  (class class class)co 5615    +Q cplq 6788   P.cnp 6797    +P. cpp 6799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-eprel 4092  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-1o 6137  df-2o 6138  df-oadd 6141  df-omul 6142  df-er 6246  df-ec 6248  df-qs 6252  df-ni 6810  df-pli 6811  df-mi 6812  df-lti 6813  df-plpq 6850  df-mpq 6851  df-enq 6853  df-nqqs 6854  df-plqqs 6855  df-mqqs 6856  df-1nqqs 6857  df-rq 6858  df-ltnqqs 6859  df-enq0 6930  df-nq0 6931  df-0nq0 6932  df-plq0 6933  df-mq0 6934  df-inp 6972  df-iplp 6974
This theorem is referenced by:  ltaprlem  7124  ltaprg  7125  caucvgprlemcanl  7150  caucvgprprlemexb  7213  caucvgprprlemaddq  7214  enrer  7228  addcmpblnr  7232  mulcmpblnrlemg  7233  ltsrprg  7240  addasssrg  7249  mulasssrg  7251  distrsrg  7252  m1p1sr  7253  m1m1sr  7254  lttrsr  7255  ltsosr  7257  0idsr  7260  1idsr  7261  ltasrg  7263  recexgt0sr  7266  mulgt0sr  7270  mulextsr1lem  7272  srpospr  7275  prsradd  7278  prsrlt  7279  pitonnlem1p1  7330  pitoregt0  7333  recidpirqlemcalc  7341
  Copyright terms: Public domain W3C validator