Theorem axaddcl 8051

Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcl 8095 be used later. Instead, in most cases use addcl 8124. (Contributed by NM, 14-Jun-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )

Proof of Theorem axaddcl

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4735	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. R. ) -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
2		df-c 8005	. . . . 5 |- CC = ( R. X. R. )
3	1, 2	eleq2s 2324	. . . 4 |- ( A e. CC -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
4		elxpi 4735	. . . . 5 |- ( B e. ( R. X. R. ) -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
5	4, 2	eleq2s 2324	. . . 4 |- ( B e. CC -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
6	3, 5	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
7		ee4anv 1985	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) <-> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
8	6, 7	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
9		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> A = <. x , y >. )
10		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> B = <. z , w >. )
11	9, 10	oveq12d 6019	. . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) = ( <. x , y >. + <. z , w >. ) )
12		addcnsr 8021	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
13	12	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
14	11, 13	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
15		addclsr 7940	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x +R z ) e. R. )
16	15	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x +R z ) e. R. )
17		addclsr 7940	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y +R w ) e. R. )
18	17	ad2ant2l 508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y +R w ) e. R. )
19		opelxpi 4751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. ( R. X. R. ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. ( R. X. R. ) )
21	20, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. CC )
22	21	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. CC )
23	14, 22	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) e. CC )
24	23	exlimivv 1943	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) e. CC )
25	24	exlimivv 1943	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) e. CC )
26	8, 25	syl 14	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717  (class class class)co 6001   R.cnr 7484   +R cplr 7488   CCcc 7997   + caddc 8002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-iplp 7655  df-enr 7913  df-nr 7914  df-plr 7915  df-c 8005  df-add 8010

This theorem is referenced by:  axaddf  8055