Theorem axaddcl 7498

Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcl 7538 be used later. Instead, in most cases use addcl 7564. (Contributed by NM, 14-Jun-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )

Proof of Theorem axaddcl

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4483	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. R. ) -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
2		df-c 7453	. . . . 5 |- CC = ( R. X. R. )
3	1, 2	eleq2s 2189	. . . 4 |- ( A e. CC -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
4		elxpi 4483	. . . . 5 |- ( B e. ( R. X. R. ) -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
5	4, 2	eleq2s 2189	. . . 4 |- ( B e. CC -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
6	3, 5	anim12i 332	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
7		ee4anv 1864	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) <-> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
8	6, 7	sylibr 133	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
9		simpll 497	. . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> A = <. x , y >. )
10		simprl 499	. . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> B = <. z , w >. )
11	9, 10	oveq12d 5708	. . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) = ( <. x , y >. + <. z , w >. ) )
12		addcnsr 7468	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
13	12	ad2ant2l 493	. . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
14	11, 13	eqtrd 2127	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
15		addclsr 7396	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x +R z ) e. R. )
16	15	ad2ant2r 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x +R z ) e. R. )
17		addclsr 7396	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y +R w ) e. R. )
18	17	ad2ant2l 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y +R w ) e. R. )
19		opelxpi 4499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. ( R. X. R. ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. ( R. X. R. ) )
21	20, 2	syl6eleqr 2188	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. CC )
22	21	ad2ant2l 493	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. e. CC )
23	14, 22	eqeltrd 2171	. . . 4 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) e. CC )
24	23	exlimivv 1831	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) e. CC )
25	24	exlimivv 1831	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A + B ) e. CC )
26	8, 25	syl 14	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   <.cop 3469   X. cxp 4465  (class class class)co 5690   R.cnr 6953   +R cplr 6957   CCcc 7445   + caddc 7450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-enq0 7080  df-nq0 7081  df-0nq0 7082  df-plq0 7083  df-mq0 7084  df-inp 7122  df-iplp 7124  df-enr 7369  df-nr 7370  df-plr 7371  df-c 7453  df-add 7458

This theorem is referenced by: (None)