ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axaddcl Unicode version

Theorem axaddcl 7640
Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcl 7684 be used later. Instead, in most cases use addcl 7713. (Contributed by NM, 14-Jun-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem axaddcl
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4525 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
2 df-c 7594 . . . . 5  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
31, 2eleq2s 2212 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
4 elxpi 4525 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
54, 2eleq2s 2212 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
63, 5anim12i 336 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) ) )
7 ee4anv 1886 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  <->  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. ) )  /\  E. z E. w ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
86, 7sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
9 simpll 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  A  =  <. x ,  y >. )
10 simprl 505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  B  =  <. z ,  w >. )
119, 10oveq12d 5760 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  =  ( <.
x ,  y >.  +  <. z ,  w >. ) )
12 addcnsr 7610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  y >.  +  <. z ,  w >. )  =  <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w )
>. )
1312ad2ant2l 499 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  +  <. z ,  w >. )  =  <. (
x  +R  z ) ,  ( y  +R  w ) >. )
1411, 13eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  =  <. (
x  +R  z ) ,  ( y  +R  w ) >. )
15 addclsr 7529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  +R  z
)  e.  R. )
1615ad2ant2r 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( x  +R  z )  e.  R. )
17 addclsr 7529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  +R  w
)  e.  R. )
1817ad2ant2l 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( y  +R  w )  e.  R. )
19 opelxpi 4541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  +R  z
)  e.  R.  /\  ( y  +R  w
)  e.  R. )  -> 
<. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
2016, 18, 19syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
2120, 2eleqtrrdi 2211 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w
) >.  e.  CC )
2221ad2ant2l 499 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  <. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >.  e.  CC )
2314, 22eqeltrd 2194 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
2423exlimivv 1852 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
2524exlimivv 1852 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
268, 25syl 14 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   <.cop 3500    X. cxp 4507  (class class class)co 5742   R.cnr 7073    +R cplr 7077   CCcc 7586    + caddc 7591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-iplp 7244  df-enr 7502  df-nr 7503  df-plr 7504  df-c 7594  df-add 7599
This theorem is referenced by:  axaddf  7644
  Copyright terms: Public domain W3C validator