Theorem axaddrcl 8085

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 8129 be used later. Instead, in most cases use readdcl 8158. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )

Proof of Theorem axaddrcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8048	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 8048	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		oveq1 6025	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( A + <. y , 0R >. ) )
4	3	eleq1d 2300	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A + <. y , 0R >. ) e. RR ) )
5		oveq2 6026	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A + <. y , 0R >. ) = ( A + B ) )
6	5	eleq1d 2300	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A + <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A + B ) e. RR ) )
7		addresr 8057	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( x +R y ) , 0R >. )
8		addclsr 7973	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x +R y ) e. R. )
9		opelreal 8047	. . . 4 |- ( <. ( x +R y ) , 0R >. e. RR <-> ( x +R y ) e. R. )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x +R y ) , 0R >. e. RR )
11	7, 10	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) e. RR )
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2836	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672  (class class class)co 6018   R.cnr 7517   0Rc0r 7518   +R cplr 7521   RRcr 8031   + caddc 8035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-enr 7946  df-nr 7947  df-plr 7948  df-0r 7951  df-c 8038  df-r 8042  df-add 8043

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  8112