Theorem axaddrcl 8048

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 8092 be used later. Instead, in most cases use readdcl 8121. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )

Proof of Theorem axaddrcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8011	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 8011	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		oveq1 6007	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( A + <. y , 0R >. ) )
4	3	eleq1d 2298	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A + <. y , 0R >. ) e. RR ) )
5		oveq2 6008	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A + <. y , 0R >. ) = ( A + B ) )
6	5	eleq1d 2298	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A + <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A + B ) e. RR ) )
7		addresr 8020	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( x +R y ) , 0R >. )
8		addclsr 7936	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x +R y ) e. R. )
9		opelreal 8010	. . . 4 |- ( <. ( x +R y ) , 0R >. e. RR <-> ( x +R y ) e. R. )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x +R y ) , 0R >. e. RR )
11	7, 10	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) e. RR )
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2833	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669  (class class class)co 6000   R.cnr 7480   0Rc0r 7481   +R cplr 7484   RRcr 7994   + caddc 7998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-iplp 7651  df-enr 7909  df-nr 7910  df-plr 7911  df-0r 7914  df-c 8001  df-r 8005  df-add 8006

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  8075