Theorem axaddrcl 7998

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 8042 be used later. Instead, in most cases use readdcl 8071. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )

Proof of Theorem axaddrcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7961	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7961	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		oveq1 5964	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( A + <. y , 0R >. ) )
4	3	eleq1d 2275	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A + <. y , 0R >. ) e. RR ) )
5		oveq2 5965	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A + <. y , 0R >. ) = ( A + B ) )
6	5	eleq1d 2275	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A + <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A + B ) e. RR ) )
7		addresr 7970	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( x +R y ) , 0R >. )
8		addclsr 7886	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x +R y ) e. R. )
9		opelreal 7960	. . . 4 |- ( <. ( x +R y ) , 0R >. e. RR <-> ( x +R y ) e. R. )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x +R y ) , 0R >. e. RR )
11	7, 10	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. + <. y , 0R >. ) e. RR )
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2807	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641  (class class class)co 5957   R.cnr 7430   0Rc0r 7431   +R cplr 7434   RRcr 7944   + caddc 7948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-2o 6516  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-enq0 7557  df-nq0 7558  df-0nq0 7559  df-plq0 7560  df-mq0 7561  df-inp 7599  df-i1p 7600  df-iplp 7601  df-enr 7859  df-nr 7860  df-plr 7861  df-0r 7864  df-c 7951  df-r 7955  df-add 7956

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  8025