ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axaddrcl Unicode version

Theorem axaddrcl 7894
Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 7938 be used later. Instead, in most cases use readdcl 7967. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem axaddrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7857 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7857 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 oveq1 5903 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  <. y ,  0R >. ) )
43eleq1d 2258 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR ) )
5 oveq2 5904 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  B ) )
65eleq1d 2258 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
7 addresr 7866 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  +R  y ) ,  0R >. )
8 addclsr 7782 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  +R  y
)  e.  R. )
9 opelreal 7856 . . . 4  |-  ( <.
( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR  <->  ( x  +R  y )  e.  R. )
108, 9sylibr 134 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  -> 
<. ( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2266 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR )
121, 2, 4, 6, 112gencl 2785 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   <.cop 3610  (class class class)co 5896   R.cnr 7326   0Rc0r 7327    +R cplr 7330   RRcr 7840    + caddc 7844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-enq0 7453  df-nq0 7454  df-0nq0 7455  df-plq0 7456  df-mq0 7457  df-inp 7495  df-i1p 7496  df-iplp 7497  df-enr 7755  df-nr 7756  df-plr 7757  df-0r 7760  df-c 7847  df-r 7851  df-add 7852
This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7921
  Copyright terms: Public domain W3C validator