ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axaddrcl Unicode version

Theorem axaddrcl 7685
Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 7729 be used later. Instead, in most cases use readdcl 7758. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem axaddrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7648 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7648 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 oveq1 5781 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  <. y ,  0R >. ) )
43eleq1d 2208 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR ) )
5 oveq2 5782 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  B ) )
65eleq1d 2208 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
7 addresr 7657 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  +R  y ) ,  0R >. )
8 addclsr 7573 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  +R  y
)  e.  R. )
9 opelreal 7647 . . . 4  |-  ( <.
( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR  <->  ( x  +R  y )  e.  R. )
108, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  -> 
<. ( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2216 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR )
121, 2, 4, 6, 112gencl 2719 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530  (class class class)co 5774   R.cnr 7117   0Rc0r 7118    +R cplr 7121   RRcr 7631    + caddc 7635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-enr 7546  df-nr 7547  df-plr 7548  df-0r 7551  df-c 7638  df-r 7642  df-add 7643
This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7712
  Copyright terms: Public domain W3C validator