Theorem ccats1val2 11166

Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1val2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		s1cl 11149	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
3	2	3ad2ant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		lencl 11070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9563	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6		elfzomin 10407	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
7	1, 5, 6	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8		s1leng 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1)
9	8	oveq2d 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
10	9	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
11	10	3ad2ant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
12	7, 11	eleqtrrd 2309	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13		eleq1 2292	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
14	13	3ad2ant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
15	12, 14	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16		ccatval2 11128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
17	1, 3, 15, 16	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
18		oveq1 6007	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
19	18	3ad2ant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20	4	nn0cnd 9420	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
21	20	subidd 8441	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
22	21	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23	19, 22	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
24	23	fveq2d 5630	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
25		s1fv 11154	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
26	25	3ad2ant2 1043	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27	17, 24, 26	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   − cmin 8313  ℤcz 9442  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120  ⟨“cs1 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121  df-s1 11144

This theorem is referenced by:  ccatws1ls  11168  ccatw2s1p2  11171