Theorem ccatval2 11128

Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval2	|- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )

Proof of Theorem ccatval2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11122	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	3adant3 1041	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6		eleq1 2292	. . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7		fveq2 5626	. . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8		fvoveq1 6023	. . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3629	. . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10		fzodisj 10372	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/)
11		minel 3553	. . . . . 6 |- ( ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
12	10, 11	mpan2 425	. . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
13	12	3ad2ant3 1044	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14	13	iffalsed 3612	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
15	9, 14	sylan9eqr 2284	. 2 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
16	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S e. Fin )
17		hashcl 10998	. . . . 5 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
18		fzoss1 10365	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
19		nn0uz 9753	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20	18, 19	eleq2s 2324	. . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
21	16, 17, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
22	21	sseld 3223	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
23	22	3impia 1224	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
24		simp2 1022	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
25		elfzoelz 10339	. . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ZZ )
26	25	3ad2ant3 1044	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ZZ )
27		lencl 11070	. . . . . 6 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9563	. . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
29	28	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
30	26, 29	zsubcld 9570	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
31		fvexg 5645	. . 3 |- ( ( T e. Word B /\ ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
32	24, 30, 31	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
33	5, 15, 23, 32	fvmptd 5714	1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   0cc0 7995   + caddc 7998   - cmin 8313   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121

This theorem is referenced by:  ccatval3  11129  ccatsymb  11132  ccatval21sw  11135  ccatlid  11136  ccatass  11138  ccatrn  11139  lswccatn0lsw  11141  ccats1val2  11166  ccatswrd  11197  ccatpfx  11228  pfxccatin12lem2  11258  pfxccatin12  11260