ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatval2 Unicode version
Theorem ccatval2 11077
Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatval2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
Proof of Theorem ccatval2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfin 11035 . . . 4 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2 wrdfin 11035 . . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3 ccatfvalfi 11071 . . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
543adant3 1020 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6 eleq1 2269 . . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7 fveq2 5589 . . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8 fvoveq1 5980 . . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
96, 7, 8ifbieq12d 3602 . . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10 fzodisj 10322 . . . . . 6 |- ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/)
11 minel 3526 . . . . . 6 |- ( ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1210, 11mpan2 425 . . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
13123ad2ant3 1023 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1413iffalsed 3585 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
159, 14sylan9eqr 2261 . 2 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
161adantr 276 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S e. Fin )
17 hashcl 10948 . . . . 5 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
18 fzoss1 10315 . . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
19 nn0uz 9703 . . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2018, 19eleq2s 2301 . . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
2116, 17, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
2221sseld 3196 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
23223impia 1203 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
24 simp2 1001 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
25 elfzoelz 10289 . . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ZZ )
26253ad2ant3 1023 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ZZ )
27 lencl 11020 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
2827nn0zd 9513 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
29283ad2ant1 1021 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
3026, 29zsubcld 9520 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
31 fvexg 5608 . . 3 |- ( ( T e. Word B /\ ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
3224, 30, 31syl2anc 411 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
335, 15, 23, 32fvmptd 5673 1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   i^i cin 3169   C_ wss 3170   (/)c0 3464   ifcif 3575   |-> cmpt 4113   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Fincfn 6840   0cc0 7945   + caddc 7948   - cmin 8263   NN0cn0 9315   ZZcz 9392   ZZ>=cuz 9668  ..^cfzo 10284  ♯chash 10942  Word cword 11016   ++ cconcat 11069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-concat 11070
This theorem is referenced by:  ccatval3  11078  ccatsymb  11081  ccatval21sw  11084  ccatlid  11085  ccatass  11087  ccatrn  11088  lswccatn0lsw  11090  ccats1val2  11115  ccatswrd  11146  ccatpfx  11177
  Copyright terms: Public domain W3C validator