Theorem ccatval2 11388

Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval2	|- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )

Proof of Theorem ccatval2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11345	. . . 4 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2		wrdfin 11345	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11382	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	3adant3 1048	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6		eleq1 2301	. . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7		fveq2 5698	. . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8		fvoveq1 6111	. . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3667	. . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10		fzodisj 10604	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/)
11		minel 3586	. . . . . 6 |- ( ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
12	10, 11	mpan2 429	. . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
13	12	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14	13	iffalsed 3650	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
15	9, 14	sylan9eqr 2293	. 2 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
16	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S e. Fin )
17		hashcl 11242	. . . . 5 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
18		fzoss1 10597	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
19		nn0uz 9973	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20	18, 19	eleq2s 2333	. . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
21	16, 17, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
22	21	sseld 3247	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
23	22	3impia 1231	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
24		simp2 1029	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
25		elfzoelz 10571	. . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ZZ )
26	25	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ZZ )
27		lencl 11330	. . . . . 6 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9777	. . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
29	28	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
30	26, 29	zsubcld 9784	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
31		fvexg 5717	. . 3 |- ( ( T e. Word B /\ ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
32	24, 30, 31	syl2anc 415	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
33	5, 15, 23, 32	fvmptd 5789	1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   + caddc 8188   - cmin 8504   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381

This theorem is used by:  ccatval3  11389  ccatsymb  11392  ccatval21sw  11395  ccatlid  11396  ccatass  11398  ccatrn  11399  lswccatn0lsw  11401  ccats1val2  11430  ccatswrd  11464  ccatpfx  11495  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12  11527  clwwlkccatlem  16846