Theorem ccatval2 11366

Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval2	|- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )

Proof of Theorem ccatval2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11323	. . . 4 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2		wrdfin 11323	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11360	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	3adant3 1048	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6		eleq1 2301	. . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7		fveq2 5695	. . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8		fvoveq1 6108	. . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3667	. . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10		fzodisj 10587	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/)
11		minel 3586	. . . . . 6 |- ( ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
12	10, 11	mpan2 429	. . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
13	12	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14	13	iffalsed 3650	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
15	9, 14	sylan9eqr 2293	. 2 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
16	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S e. Fin )
17		hashcl 11220	. . . . 5 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
18		fzoss1 10580	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
19		nn0uz 9957	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20	18, 19	eleq2s 2333	. . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
21	16, 17, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
22	21	sseld 3247	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
23	22	3impia 1231	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
24		simp2 1029	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
25		elfzoelz 10554	. . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ZZ )
26	25	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ZZ )
27		lencl 11308	. . . . . 6 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9766	. . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
29	28	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
30	26, 29	zsubcld 9773	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
31		fvexg 5714	. . 3 |- ( ( T e. Word B /\ ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
32	24, 30, 31	syl2anc 415	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
33	5, 15, 23, 32	fvmptd 5786	1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   0cc0 8179   + caddc 8182   - cmin 8497   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304   ++ cconcat 11358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359

This theorem is used by:  ccatval3  11367  ccatsymb  11370  ccatval21sw  11373  ccatlid  11374  ccatass  11376  ccatrn  11377  lswccatn0lsw  11379  ccats1val2  11408  ccatswrd  11442  ccatpfx  11473  pfxccatin12lem2  11503  pfxccatin12  11505  clwwlkccatlem  16641