ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatval2 Unicode version
Theorem ccatval2 11029
Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatval2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
Proof of Theorem ccatval2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfin 10988 . . . 4 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2 wrdfin 10988 . . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3 ccatfvalfi 11023 . . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
543adant3 1019 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6 eleq1 2267 . . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7 fveq2 5570 . . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8 fvoveq1 5957 . . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
96, 7, 8ifbieq12d 3596 . . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10 fzodisj 10283 . . . . . 6 |- ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/)
11 minel 3521 . . . . . 6 |- ( ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( ( 0..^ (♯ ` S ) ) i^i ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = (/) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1210, 11mpan2 425 . . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
13123ad2ant3 1022 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1413iffalsed 3580 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
159, 14sylan9eqr 2259 . 2 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
161adantr 276 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S e. Fin )
17 hashcl 10907 . . . . 5 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
18 fzoss1 10276 . . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
19 nn0uz 9665 . . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2018, 19eleq2s 2299 . . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
2116, 17, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) C_ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
2221sseld 3191 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
23223impia 1202 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
24 simp2 1000 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
25 elfzoelz 10251 . . . . 5 |- ( I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> I e. ZZ )
26253ad2ant3 1022 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> I e. ZZ )
27 lencl 10973 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
2827nn0zd 9475 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
29283ad2ant1 1020 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
3026, 29zsubcld 9482 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
31 fvexg 5589 . . 3 |- ( ( T e. Word B /\ ( I - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
3224, 30, 31syl2anc 411 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
335, 15, 23, 32fvmptd 5654 1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( (♯ ` S )..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   i^i cin 3164   C_ wss 3165   (/)c0 3459   ifcif 3570   |-> cmpt 4104   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   Fincfn 6817   0cc0 7907   + caddc 7910   - cmin 8225   NN0cn0 9277   ZZcz 9354   ZZ>=cuz 9630  ..^cfzo 10246  ♯chash 10901  Word cword 10969   ++ cconcat 11021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-1o 6492  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-ihash 10902  df-word 10970  df-concat 11022
This theorem is referenced by:  ccatval3  11030  ccatsymb  11033  ccatval21sw  11036  ccatlid  11037  ccatass  11039  ccatrn  11040  lswccatn0lsw  11042
  Copyright terms: Public domain W3C validator