ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser3shft Unicode version

Theorem iser3shft 10731
Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iser3shft.ex  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
iser3shft.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iser3shft.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
iser3shft.fm  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iser3shft.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iser3shft  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F )  ~~>  A  <->  seq ( M  +  N ) (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, N, y   
x, S, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem iser3shft
StepHypRef Expression
1 iser3shft.ex . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
2 iser3shft.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iser3shft.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zaddcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
52zcnd 8867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
63zcnd 8867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
75, 6pncand 7792 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
87fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  -  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
98eleq2d 2157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( ( M  +  N )  -  N ) )  <->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
109pm5.32i 442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  -  N ) ) )  <-> 
( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
11 iser3shft.fm . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
1210, 11sylbi 119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  -  N ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
13 iser3shft.pl . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
141, 4, 3, 12, 13seq3shft 10268 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( M  +  N ) (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( ( M  +  N )  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
157seqeq1d 9860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq ( ( M  +  N )  -  N ) (  .+  ,  F )  =  seq M (  .+  ,  F ) )
1615oveq1d 5667 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq ( ( M  +  N )  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  =  (  seq M (  .+  ,  F )  shift  N ) )
1714, 16eqtrd 2120 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( M  +  N ) (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq M (  .+  ,  F )  shift  N ) )
1817breq1d 3855 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  N ) ( 
.+  ,  ( F 
shift  N ) )  ~~>  A  <->  (  seq M (  .+  ,  F )  shift  N )  ~~>  A ) )
19 seqex 9853 . . 3  |-  seq M
(  .+  ,  F
)  e.  _V
20 climshft 10688 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq M (  .+  ,  F )  e.  _V )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F )  shift  N )  ~~>  A  <->  seq M (  .+  ,  F )  ~~>  A ) )
213, 19, 20sylancl 404 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
)  shift  N )  ~~>  A  <->  seq M ( 
.+  ,  F )  ~~>  A ) )
2218, 21bitr2d 187 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F )  ~~>  A  <->  seq ( M  +  N ) (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    + caddc 7351    - cmin 7651   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017    seqcseq 9848    shift cshi 10244    ~~> cli 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-shft 10245  df-clim 10663
This theorem is referenced by:  isumshft  10880
  Copyright terms: Public domain W3C validator