Theorem iser3shft 12056

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
iser3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
iser3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
iser3shft.fm	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iser3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
2		iser3shft.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iser3shft.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	2, 3	zaddcld 9722	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5	2	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
6	3	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
7	5, 6	pncand 8601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + N ) - N ) = M )
8	7	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
9	8	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
10	9	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) <-> ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
12	10, 11	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
13		iser3shft.pl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 11548	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
15	7	seqeq1d 10839	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
16	15	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
17	14, 16	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
18	17	breq1d 4124	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A <-> ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A ) )
19		seqex 10835	. . 3 |- seq M ( .+ , F ) e. _V
20		climshft 12014	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( .+ , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
21	3, 19, 20	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
22	18, 21	bitr2d 189	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   seqcseq 10833   shift cshi 11524   ~~> cli 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-shft 11525  df-clim 11989

This theorem is referenced by:  isumshft  12201