Theorem iser3shft 11772

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
iser3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
iser3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
iser3shft.fm	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iser3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
2		iser3shft.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iser3shft.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	2, 3	zaddcld 9534	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5	2	zcnd 9531	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
6	3	zcnd 9531	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
7	5, 6	pncand 8419	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + N ) - N ) = M )
8	7	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
9	8	eleq2d 2277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
10	9	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) <-> ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
12	10, 11	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
13		iser3shft.pl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 11264	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
15	7	seqeq1d 10635	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
16	15	oveq1d 5982	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
17	14, 16	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
18	17	breq1d 4069	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A <-> ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A ) )
19		seqex 10631	. . 3 |- seq M ( .+ , F ) e. _V
20		climshft 11730	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( .+ , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
21	3, 19, 20	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
22	18, 21	bitr2d 189	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   + caddc 7963   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   seqcseq 10629   shift cshi 11240   ~~> cli 11704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-seqfrec 10630  df-shft 11241  df-clim 11705

This theorem is referenced by:  isumshft  11916