Theorem iser3shft 11628

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
iser3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
iser3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
iser3shft.fm	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iser3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
2		iser3shft.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iser3shft.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	2, 3	zaddcld 9498	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5	2	zcnd 9495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
6	3	zcnd 9495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
7	5, 6	pncand 8383	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + N ) - N ) = M )
8	7	fveq2d 5579	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
9	8	eleq2d 2274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
10	9	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) <-> ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
12	10, 11	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
13		iser3shft.pl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 11120	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
15	7	seqeq1d 10596	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
16	15	oveq1d 5958	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
17	14, 16	eqtrd 2237	. . 3 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
18	17	breq1d 4053	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A <-> ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A ) )
19		seqex 10592	. . 3 |- seq M ( .+ , F ) e. _V
20		climshft 11586	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( .+ , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
21	3, 19, 20	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
22	18, 21	bitr2d 189	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   + caddc 7927   - cmin 8242   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   seqcseq 10590   shift cshi 11096   ~~> cli 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-seqfrec 10591  df-shft 11097  df-clim 11561

This theorem is referenced by:  isumshft  11772