Theorem iser3shft 11287

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
iser3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
iser3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
iser3shft.fm	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iser3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
2		iser3shft.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iser3shft.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	2, 3	zaddcld 9317	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5	2	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
6	3	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
7	5, 6	pncand 8210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + N ) - N ) = M )
8	7	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
9	8	eleq2d 2236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
10	9	pm5.32i 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) <-> ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
12	10, 11	sylbi 120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
13		iser3shft.pl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 10780	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
15	7	seqeq1d 10386	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
16	15	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
17	14, 16	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
18	17	breq1d 3992	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A <-> ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A ) )
19		seqex 10382	. . 3 |- seq M ( .+ , F ) e. _V
20		climshft 11245	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( .+ , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
21	3, 19, 20	sylancl 410	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
22	18, 21	bitr2d 188	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   + caddc 7756   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380   shift cshi 10756   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-seqfrec 10381  df-shft 10757  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  isumshft  11431