Theorem iser3shft 11373

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
iser3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
iser3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
iser3shft.fm	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iser3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
2		iser3shft.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iser3shft.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	2, 3	zaddcld 9398	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5	2	zcnd 9395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
6	3	zcnd 9395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
7	5, 6	pncand 8288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + N ) - N ) = M )
8	7	fveq2d 5534	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
9	8	eleq2d 2259	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
10	9	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) <-> ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
12	10, 11	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( M + N ) - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
13		iser3shft.pl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 10866	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
15	7	seqeq1d 10470	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
16	15	oveq1d 5906	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( ( M + N ) - N ) ( .+ , F ) shift N ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
17	14, 16	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ph -> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) shift N ) )
18	17	breq1d 4028	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A <-> ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A ) )
19		seqex 10466	. . 3 |- seq M ( .+ , F ) e. _V
20		climshft 11331	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( .+ , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
21	3, 19, 20	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) shift N ) ~~> A <-> seq M ( .+ , F ) ~~> A ) )
22	18, 21	bitr2d 189	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ~~> A <-> seq ( M + N ) ( .+ , ( F shift N ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   + caddc 7833   - cmin 8147   ZZcz 9272   ZZ>=cuz 9547   seqcseq 10464   shift cshi 10842   ~~> cli 11305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-seqfrec 10465  df-shft 10843  df-clim 11306

This theorem is referenced by:  isumshft  11517