Theorem climshft 11231

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshft

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5843	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
2	1	breq1d 3986	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3		breq1 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	2, 3	bibi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))))
6		znegcl 9213	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7		vex 2724	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
8		zcn 9187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ovshftex 10747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑓 shift 𝑀) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 shift 𝑀) ∈ V)
11		climshftlemg 11229	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑓 shift 𝑀) ∈ V) → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
13		eqid 2164	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
14	8	negcld 8187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
15		ovshftex 10747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 shift 𝑀) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
16	10, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
17	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
18		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
19		eluzelcn 9468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
20	7	shftcan1 10762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
21	8, 19, 20	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
22	13, 16, 17, 18, 21	climeq 11226	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
23	12, 22	sylibd 148	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → 𝑓 ⇝ 𝐴))
24		climshftlemg 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
25	7, 24	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
26	23, 25	impbid 128	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
27	5, 26	vtoclg 2781	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
28	27	impcom 124	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  -cneg 8061  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457   shift cshi 10742   ⇝ cli 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-shft 10743  df-clim 11206

This theorem is referenced by:  climshft2  11233  iser3shft  11273  eftlub  11617