ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climshft GIF version

Theorem climshft 10531
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climshft
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5601 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
21breq1d 3824 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3 breq1 3817 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐴𝐹𝐴))
42, 3bibi12d 233 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
54imbi2d 228 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))))
6 znegcl 8691 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7 vex 2617 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
8 zcn 8665 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9 ovshftex 10095 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑓 shift 𝑀) ∈ V)
107, 8, 9sylancr 405 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 shift 𝑀) ∈ V)
11 climshftlemg 10529 . . . . . 6 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑓 shift 𝑀) ∈ V) → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
126, 10, 11syl2anc 403 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
13 eqid 2085 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
148negcld 7701 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
15 ovshftex 10095 . . . . . . 7 (((𝑓 shift 𝑀) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
1610, 14, 15syl2anc 403 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
177a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
18 id 19 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
19 eluzelcn 8939 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
207shftcan1 10110 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
218, 19, 20syl2an 283 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
2213, 16, 17, 18, 21climeq 10526 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
2312, 22sylibd 147 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
24 climshftlemg 10529 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝑓𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
257, 24mpan2 416 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
2623, 25impbid 127 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
275, 26vtoclg 2671 . 2 (𝐹𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
2827impcom 123 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2614   class class class wbr 3814  cfv 4972  (class class class)co 5594  cc 7269  -cneg 7575  cz 8660  cuz 8928   shift cshi 10090  cli 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-shft 10091  df-clim 10506
This theorem is referenced by:  climshft2  10533
  Copyright terms: Public domain W3C validator