ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  serclim0 Unicode version

Theorem serclim0 11236
Description: The zero series converges to zero. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
serclim0  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )

Proof of Theorem serclim0
StepHypRef Expression
1 eqid 2164 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
21ser0f 10441 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) )  =  ( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) )
3 0cn 7883 . . 3  |-  0  e.  CC
4 ssid 3158 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  M )
5 zex 9192 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
6 uzssz 9477 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
75, 6ssexi 4115 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
84, 7climconst2 11222 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } )  ~~>  0 )
93, 8mpan 421 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  M )  X.  { 0 } )  ~~>  0 )
102, 9eqbrtrd 3999 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2135   {csn 3571   class class class wbr 3977    X. cxp 4597   ` cfv 5183   CCcc 7743   0cc0 7745    + caddc 7748   ZZcz 9183   ZZ>=cuz 9458    seqcseq 10371    ~~> cli 11209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-2 8908  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-rp 9582  df-fz 9937  df-fzo 10069  df-seqfrec 10372  df-exp 10446  df-cj 10774  df-rsqrt 10930  df-abs 10931  df-clim 11210
This theorem is referenced by:  iserge0  11274  sum0  11319  isumz  11320
  Copyright terms: Public domain W3C validator