Theorem cnsubglem 13812

Description: Lemma for cnsubrglem 13813 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubglem.4	|- B e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	|- A e. (SubGrp ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem cnsubglem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3171	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubglem.4	. . 3 |- B e. A
4		elex2 2765	. . 3 |- ( B e. A -> E. w w e. A )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- E. w w e. A
6		cnsubglem.2	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
7	6	ralrimiva 2560	. . . 4 |- ( x e. A -> A. y e. A ( x + y ) e. A )
8		cnfldneg 13806	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) = -u x )
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) = -u x )
10		cnsubglem.3	. . . . 5 |- ( x e. A -> -u x e. A )
11	9, 10	eqeltrd 2264	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A )
12	7, 11	jca 306	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
13	12	rgen 2540	. 2 |- A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A )
14		cnring 13803	. . 3 |- ℂfld e. Ring
15		ringgrp 13310	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
16		cnfldbas 13798	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
17		cnfldadd 13799	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
18		eqid 2187	. . . 4 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
19	16, 17, 18	issubg2m 13089	. . 3 |- (ℂfld e. Grp -> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ E. w w e. A /\ A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) ) ) )
20	14, 15, 19	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ E. w w e. A /\ A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) ) )
21	2, 5, 13, 20	mpbir3an 1180	1 |- A e. (SubGrp ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   C_ wss 3141   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   + caddc 7828   -ucneg 8143   Grpcgrp 12906   invgcminusg 12907  SubGrpcsubg 13067   Ringcrg 13305  ℂ_fldccnfld 13794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-dec 9399  df-uz 9543  df-fz 10023  df-cj 10865  df-struct 12478  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-starv 12566  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12909  df-minusg 12910  df-subg 13070  df-cmn 13180  df-mgp 13230  df-ring 13307  df-cring 13308  df-icnfld 13795

This theorem is referenced by:  cnsubrglem  13813  zringmulg  13827