Theorem cnsubglem 14049

Description: Lemma for cnsubrglem 14050 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubglem.4	|- B e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	|- A e. (SubGrp ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem cnsubglem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3183	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubglem.4	. . 3 |- B e. A
4		elex2 2776	. . 3 |- ( B e. A -> E. w w e. A )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- E. w w e. A
6		cnsubglem.2	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
7	6	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( x e. A -> A. y e. A ( x + y ) e. A )
8		cnfldneg 14043	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) = -u x )
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) = -u x )
10		cnsubglem.3	. . . . 5 |- ( x e. A -> -u x e. A )
11	9, 10	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A )
12	7, 11	jca 306	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
13	12	rgen 2547	. 2 |- A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A )
14		cnring 14040	. . 3 |- ℂfld e. Ring
15		ringgrp 13481	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
16		cnfldbas 14035	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
17		cnfldadd 14036	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
18		eqid 2193	. . . 4 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
19	16, 17, 18	issubg2m 13248	. . 3 |- (ℂfld e. Grp -> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ E. w w e. A /\ A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) ) ) )
20	14, 15, 19	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ E. w w e. A /\ A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) ) )
21	2, 5, 13, 20	mpbir3an 1181	1 |- A e. (SubGrp ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   CCcc 7860   + caddc 7865   -ucneg 8181   Grpcgrp 13062   invgcminusg 13063  SubGrpcsubg 13226   Ringcrg 13476  ℂ_fldccnfld 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-addf 7984  ax-mulf 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-n0 9231  df-z 9308  df-dec 9439  df-uz 9583  df-fz 10065  df-cj 10976  df-struct 12610  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-starv 12700  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-subg 13229  df-cmn 13345  df-mgp 13401  df-ring 13478  df-cring 13479  df-icnfld 14032

This theorem is referenced by:  cnsubrglem  14050  zringmulg  14064