Theorem cnsubglem 13558

Description: Lemma for cnsubrglem 13559 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubglem.4	|- B e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	|- A e. (SubGrp ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem cnsubglem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3161	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubglem.4	. . 3 |- B e. A
4		elex2 2755	. . 3 |- ( B e. A -> E. w w e. A )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- E. w w e. A
6		cnsubglem.2	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
7	6	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( x e. A -> A. y e. A ( x + y ) e. A )
8		cnfldneg 13552	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) = -u x )
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) = -u x )
10		cnsubglem.3	. . . . 5 |- ( x e. A -> -u x e. A )
11	9, 10	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A )
12	7, 11	jca 306	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
13	12	rgen 2530	. 2 |- A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A )
14		cnring 13549	. . 3 |- ℂfld e. Ring
15		ringgrp 13189	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
16		cnfldbas 13544	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
17		cnfldadd 13545	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
18		eqid 2177	. . . 4 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
19	16, 17, 18	issubg2m 13054	. . 3 |- (ℂfld e. Grp -> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ E. w w e. A /\ A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) ) ) )
20	14, 15, 19	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ E. w w e. A /\ A. x e. A ( A. y e. A ( x + y ) e. A /\ ( ( invg ` ℂfld ) ` x ) e. A ) ) )
21	2, 5, 13, 20	mpbir3an 1179	1 |- A e. (SubGrp ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   + caddc 7816   -ucneg 8131   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883  SubGrpcsubg 13032   Ringcrg 13184  ℂ_fldccnfld 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-fz 10011  df-cj 10853  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-starv 12553  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-subg 13035  df-cmn 13095  df-mgp 13136  df-ring 13186  df-cring 13187  df-icnfld 13541

This theorem is referenced by:  cnsubrglem  13559  zringmulg  13573