Theorem fprodsplitsn 12344

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 12315 which is the same but with a distinct variable condition in place of F/ k ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	|- F/ k ph
fprodsplitsn.kd	|- F/_ k D
fprodsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fprodsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3756	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2235	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. V )
8		snfig 7069	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { B } e. Fin )
10		unfidisj 7195	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
13	12	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = D )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
18	15, 17	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( k = B -> C e. CC ) )
20	13, 19	jaod 725	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ k = B ) -> C e. CC ) )
21		elun 3364	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
22		elsni 3712	. . . . . 6 |- ( k e. { B } -> k = B )
23	22	orim2i 769	. . . . 5 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
24	21, 23	sylbi 121	. . . 4 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
25	20, 24	impel 280	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 12343	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
28	27, 14	prodsnf 12303	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
29	7, 16, 28	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
30	29	oveq2d 6074	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
31	26, 30	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   F/wnf 1509   e. wcel 2205   F/_wnfc 2373   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512   {csn 3694  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   CCcc 8141   x. cmul 8148   prod_cprod 12261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262

This theorem is referenced by:  fprodap0f  12347  fprodle  12351