Theorem fprodsplitsn 12139

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 12110 which is the same but with a distinct variable condition in place of F/ k ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	|- F/ k ph
fprodsplitsn.kd	|- F/_ k D
fprodsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fprodsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3728	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2230	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. V )
8		snfig 6965	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { B } e. Fin )
10		unfidisj 7080	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
13	12	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = D )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
18	15, 17	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( k = B -> C e. CC ) )
20	13, 19	jaod 722	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ k = B ) -> C e. CC ) )
21		elun 3345	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
22		elsni 3684	. . . . . 6 |- ( k e. { B } -> k = B )
23	22	orim2i 766	. . . . 5 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
24	21, 23	sylbi 121	. . . 4 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
25	20, 24	impel 280	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 12138	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
28	27, 14	prodsnf 12098	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
29	7, 16, 28	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
30	29	oveq2d 6016	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
31	26, 30	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   F/wnf 1506   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   CCcc 7993   x. cmul 8000   prod_cprod 12056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057

This theorem is referenced by:  fprodap0f  12142  fprodle  12146