Theorem fprodsplitsn 11523

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 11494 which is the same but with a distinct variable condition in place of F/ k ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	|- F/ k ph
fprodsplitsn.kd	|- F/_ k D
fprodsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fprodsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3621	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2158	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. V )
8		snfig 6756	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { B } e. Fin )
10		unfidisj 6863	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1220	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
13	12	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = D )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
18	15, 17	eqeltrd 2234	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
19	18	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( k = B -> C e. CC ) )
20	13, 19	jaod 707	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ k = B ) -> C e. CC ) )
21		elun 3248	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
22		elsni 3578	. . . . . 6 |- ( k e. { B } -> k = B )
23	22	orim2i 751	. . . . 5 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
24	21, 23	sylbi 120	. . . 4 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
25	20, 24	impel 278	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 11522	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
28	27, 14	prodsnf 11482	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
29	7, 16, 28	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
30	29	oveq2d 5837	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
31	26, 30	eqtrd 2190	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1335   F/wnf 1440   e. wcel 2128   F/_wnfc 2286   u. cun 3100   i^i cin 3101   (/)c0 3394   {csn 3560  (class class class)co 5821   Fincfn 6682   CCcc 7724   x. cmul 7731   prod_cprod 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441

This theorem is referenced by:  fprodap0f  11526  fprodle  11530