Theorem fprodsplitsn 11574

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 11545 which is the same but with a distinct variable condition in place of F/ k ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	|- F/ k ph
fprodsplitsn.kd	|- F/_ k D
fprodsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fprodsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3638	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2166	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. V )
8		snfig 6780	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { B } e. Fin )
10		unfidisj 6887	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
13	12	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = D )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
18	15, 17	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
19	18	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( k = B -> C e. CC ) )
20	13, 19	jaod 707	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ k = B ) -> C e. CC ) )
21		elun 3263	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
22		elsni 3594	. . . . . 6 |- ( k e. { B } -> k = B )
23	22	orim2i 751	. . . . 5 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
24	21, 23	sylbi 120	. . . 4 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
25	20, 24	impel 278	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 11573	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
28	27, 14	prodsnf 11533	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
29	7, 16, 28	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
30	29	oveq2d 5858	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
31	26, 30	eqtrd 2198	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   F/wnf 1448   e. wcel 2136   F/_wnfc 2295   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   x. cmul 7758   prod_cprod 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-proddc 11492

This theorem is referenced by:  fprodap0f  11577  fprodle  11581