Theorem fprodsplitsn 12425

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 12396 which is the same but with a distinct variable condition in place of F/ k ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	|- F/ k ph
fprodsplitsn.kd	|- F/_ k D
fprodsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fprodsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3771	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. V )
8		snfig 7107	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { B } e. Fin )
10		unfidisj 7233	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
13	12	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = D )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
18	15, 17	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( k = B -> C e. CC ) )
20	13, 19	jaod 729	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ k = B ) -> C e. CC ) )
21		elun 3370	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
22		elsni 3727	. . . . . 6 |- ( k e. { B } -> k = B )
23	22	orim2i 773	. . . . 5 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
24	21, 23	sylbi 121	. . . 4 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
25	20, 24	impel 280	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 12424	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
28	27, 14	prodsnf 12384	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
29	7, 16, 28	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
30	29	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
31	26, 30	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   F/_wnfc 2379   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3709  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   CCcc 8183   x. cmul 8190   prod_cprod 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-proddc 12343

This theorem is used by:  fprodap0f  12428  fprodle  12432