Theorem divdivdivap 8732

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divdivdivap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
2		simprll 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simprlr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
4		divclap 8697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
6		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 # 0)
9		divclap 8697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
11	5, 10	mulcomd 8041	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)))
12		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
13		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))
14		divmuldivap 8731	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
15	6, 1, 12, 13, 14	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
16	11, 15	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
17	16	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))))
18		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
19		divmuldivap 8731	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
20	2, 1, 18, 13, 19	syl22anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
21	2, 1	mulcomd 8041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
22	21	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)))
23	1, 2	mulcld 8040	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
24		simprrr 540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
25	1, 2, 24, 3	mulap0d 8677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) # 0)
26		dividap 8720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐶) # 0) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
29	20, 28	eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = 1)
30	29	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (𝐴 / 𝐵)) = (1 · (𝐴 / 𝐵)))
31		divclap 8697	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
32	2, 1, 24, 31	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
33	32, 5, 10	mulassd 8043	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))))
34	10	mulid2d 8038	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (1 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
35	30, 33, 34	3eqtr3d 2234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
36	17, 35	eqtr3d 2228	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵))
37	6, 1	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	7, 2	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
39		mulap0 8673	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐵 · 𝐶) # 0)
40	39	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) # 0)
41		divclap 8697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) # 0) → ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
43		divap0 8703	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
44	43	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
45		divmulap 8694	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) # 0)) → (((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵)))
46	10, 42, 32, 44, 45	syl112anc 1253	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵)))
47	36, 46	mpbird 167	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692

This theorem is referenced by:  recdivap  8737  divcanap7  8740  divdivap1  8742  divdivap2  8743  divdivdivapi  8794  qreccl  9707  pcadd  12478