ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdivdivap GIF version

Theorem divdivdivap 8689
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divdivdivap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem divdivdivap
StepHypRef Expression
1 simprrl 539 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2 simprll 537 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simprlr 538 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ถ # 0)
4 divclap 8654 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ (๐ท / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4syl3anc 1249 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ท / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 simplrl 535 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 simplrr 536 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ต # 0)
9 divclap 8654 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
106, 7, 8, 9syl3anc 1249 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
115, 10mulcomd 7998 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ท / ๐ถ)))
12 simplr 528 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0))
13 simprl 529 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0))
14 divmuldivap 8688 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 1250 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
1611, 15eqtrd 2222 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
1716oveq2d 5907 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))) = ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))))
18 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))
19 divmuldivap 8688 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)))
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 1250 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)))
212, 1mulcomd 7998 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
2221oveq1d 5906 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ท ยท ๐ถ) / (๐ท ยท ๐ถ)))
231, 2mulcld 7997 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
24 simprrr 540 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ท # 0)
251, 2, 24, 3mulap0d 8634 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) # 0)
26 dividap 8677 . . . . . . . 8 (((๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ถ) # 0) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / (๐ท ยท ๐ถ)) = 1)
2723, 25, 26syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / (๐ท ยท ๐ถ)) = 1)
2822, 27eqtrd 2222 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)) = 1)
2920, 28eqtrd 2222 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) = 1)
3029oveq1d 5906 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) ยท (๐ด / ๐ต)) = (1 ยท (๐ด / ๐ต)))
31 divclap 8654 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ (๐ถ / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
322, 1, 24, 31syl3anc 1249 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ถ / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
3332, 5, 10mulassd 8000 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) ยท (๐ด / ๐ต)) = ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))))
3410mulid2d 7995 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (1 ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
3530, 33, 343eqtr3d 2230 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))) = (๐ด / ๐ต))
3617, 35eqtr3d 2224 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) = (๐ด / ๐ต))
376, 1mulcld 7997 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
387, 2mulcld 7997 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
39 mulap0 8630 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) # 0)
4039ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) # 0)
41 divclap 8654 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1249 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
43 divap0 8660 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ / ๐ท) # 0)
4443adantl 277 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ถ / ๐ท) # 0)
45 divmulap 8651 . . 3 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถ / ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ / ๐ท) # 0)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โ†” ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) = (๐ด / ๐ต)))
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1253 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โ†” ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) = (๐ด / ๐ต)))
4736, 46mpbird 167 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   ยท cmul 7835   # cap 8557   / cdiv 8648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649
This theorem is referenced by:  recdivap  8694  divcanap7  8697  divdivap1  8699  divdivap2  8700  divdivdivapi  8751  qreccl  9661  pcadd  12358
  Copyright terms: Public domain W3C validator