Theorem dividapi 9084

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by NM, 9-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	|- A e. CC
recclap.2	|- A # 0

Assertion

Ref	Expression
dividapi	|- ( A / A ) = 1

Proof of Theorem dividapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 |- A e. CC
2		recclap.2	. 2 |- A # 0
3		dividap 9040	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( A / A ) = 1 )
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 |- ( A / A ) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   1c1 8187   # cap 8918   / cdiv 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012

This theorem is used by:  2div2e1  9447  halfpm6th  9537  fldiv4p1lem1div2  10761  0.999...  12313  geoihalfsum  12314  efival  12524  ef01bndlem  12548  cos1bnd  12551  cos2bnd  12552  cos01gt0  12555  ballotfilemth  13339  sincos4thpi  16100  tan4thpi  16101  sincos6thpi  16102  log2tlbndlog2  16253  ppiqub  16326  bposlem8  16351  2lgslem3c  16452  2lgslem3d  16453  2lgsoddprmlem3b  16465