ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Unicode version

Theorem geoihalfsum 10979
Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 10976. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 10978 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 8556 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 9 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 2ap0 8578 . . . . 5  |-  2 #  0
43a1i 9 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2 #  0 )
5 nnz 8832 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
62, 4, 5exprecapd 10157 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
76sumeq2i 10816 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ k ) )
8 halfcn 8693 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9 halfre 8692 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
10 halfge0 8695 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
11 absid 10567 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
129, 10, 11mp2an 418 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
13 halflt1 8696 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
1412, 13eqbrtri 3872 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
15 geoisum1 10976 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  /  2 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
168, 14, 15mp2an 418 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  ( ( 1  /  2
)  /  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) ) )
17 1mhlfehlf 8697 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
1817oveq2i 5679 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )
19 ax-1cn 7501 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 1ap0 8130 . . . . 5  |-  1 #  0
2119, 1, 20, 3divap0i 8290 . . . 4  |-  ( 1  /  2 ) #  0
228, 21dividapi 8275 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2316, 18, 223eqtri 2113 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  1
247, 23eqtr3i 2111 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414    < clt 7585    <_ cle 7586    - cmin 7716   # cap 8121    / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   ^cexp 10017   abscabs 10493   sum_csu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator