Theorem geoihalfsum 12289

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 12286. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 12288 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	|- sum_ k e. NN ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9375	. . . . 5 |- 2 e. CC
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
3		2ap0 9397	. . . . 5 |- 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( k e. NN -> 2 # 0 )
5		nnz 9663	. . . 4 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
6	2, 4, 5	exprecapd 11119	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
7	6	sumeq2i 12130	. 2 |- sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. NN ( 1 / ( 2 ^ k ) )
8		halfcn 9519	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. CC
9		halfre 9518	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
10		halfge0 9521	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
11		absid 11837	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
12	9, 10, 11	mp2an 430	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
13		halflt1 9522	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
14	12, 13	eqbrtri 4151	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1
15		geoisum1 12286	. . . 4 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( 1 / 2 ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
16	8, 14, 15	mp2an 430	. . 3 |- sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( 1 / 2 ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) )
17		1mhlfehlf 9523	. . . 4 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
18	17	oveq2i 6096	. . 3 |- ( ( 1 / 2 ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) / ( 1 / 2 ) )
19		ax-1cn 8272	. . . . 5 |- 1 e. CC
20		1ap0 8918	. . . . 5 |- 1 # 0
21	19, 1, 20, 3	divap0i 9090	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) # 0
22	8, 21	dividapi 9075	. . 3 |- ( ( 1 / 2 ) / ( 1 / 2 ) ) = 1
23	16, 18, 22	3eqtri 2263	. 2 |- sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = 1
24	7, 23	eqtr3i 2261	1 |- sum_ k e. NN ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   ^cexp 10975   abscabs 11763   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  trilpolemgt1  17088  trilpolemeq1  17089  redcwlpolemeq1  17104