Theorem geoihalfsum 10979

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 10976. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 10978 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	|- sum_ k e. NN ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 8556	. . . . 5 |- 2 e. CC
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
3		2ap0 8578	. . . . 5 |- 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( k e. NN -> 2 # 0 )
5		nnz 8832	. . . 4 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
6	2, 4, 5	exprecapd 10157	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
7	6	sumeq2i 10816	. 2 |- sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. NN ( 1 / ( 2 ^ k ) )
8		halfcn 8693	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. CC
9		halfre 8692	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
10		halfge0 8695	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
11		absid 10567	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
12	9, 10, 11	mp2an 418	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
13		halflt1 8696	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
14	12, 13	eqbrtri 3872	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1
15		geoisum1 10976	. . . 4 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( 1 / 2 ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
16	8, 14, 15	mp2an 418	. . 3 |- sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( 1 / 2 ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) )
17		1mhlfehlf 8697	. . . 4 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
18	17	oveq2i 5679	. . 3 |- ( ( 1 / 2 ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) / ( 1 / 2 ) )
19		ax-1cn 7501	. . . . 5 |- 1 e. CC
20		1ap0 8130	. . . . 5 |- 1 # 0
21	19, 1, 20, 3	divap0i 8290	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) # 0
22	8, 21	dividapi 8275	. . 3 |- ( ( 1 / 2 ) / ( 1 / 2 ) ) = 1
23	16, 18, 22	3eqtri 2113	. 2 |- sum_ k e. NN ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = 1
24	7, 23	eqtr3i 2111	1 |- sum_ k e. NN ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = 1

Syntax hints:   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414   < clt 7585   <_ cle 7586   - cmin 7716   # cap 8121   / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   ^cexp 10017   abscabs 10493   sum_csu 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806

This theorem is referenced by: (None)