Theorem dividapi 9041

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by NM, 9-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
recclap.2	⊢ 𝐴 # 0

Assertion

Ref	Expression
dividapi	⊢ (𝐴 / 𝐴) = 1

Proof of Theorem dividapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		recclap.2	. 2 ⊢ 𝐴 # 0
3		dividap 8997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 / 𝐴) = 1

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060  ℂcc 8143  0cc0 8145  1c1 8146   # cap 8875   / cdiv 8968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969

This theorem is referenced by:  2div2e1  9392  halfpm6th  9480  fldiv4p1lem1div2  10694  0.999...  12238  geoihalfsum  12239  efival  12449  ef01bndlem  12473  cos1bnd  12476  cos2bnd  12477  cos01gt0  12480  ballotfilemth  13231  sincos4thpi  15836  tan4thpi  15837  sincos6thpi  15838  2lgslem3c  16099  2lgslem3d  16100  2lgsoddprmlem3b  16112