Theorem dvlemap 13402

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	|- ( ph -> F : D --> CC )
dvlem.2	|- ( ph -> D C_ CC )
dvlem.3	|- ( ph -> B e. D )

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	|- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, D

Allowed substitution hints:   ph( w)   F( w)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : D --> CC )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> F : D --> CC )
3		elrabi 2883	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A e. D )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. D )
5	2, 4	ffvelrnd 5629	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` A ) e. CC )
6		dvlem.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. D )
8	2, 7	ffvelrnd 5629	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
9	5, 8	subcld 8217	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) e. CC )
10		dvlem.2	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> D C_ CC )
12	11, 4	sseldd 3148	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. CC )
13	10, 6	sseldd 3148	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
14	13	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. CC )
15	12, 14	subcld 8217	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) e. CC )
16		breq1 3990	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w # B <-> A # B ) )
17	16	elrab 2886	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } <-> ( A e. D /\ A # B ) )
18	17	simprbi 273	. . . 4 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A # B )
19	18	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A # B )
20	12, 14, 19	subap0d 8550	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) # 0 )
21	9, 15, 20	divclapd 8694	1 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3987   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   - cmin 8077   # cap 8487   / cdiv 8576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577

This theorem is referenced by:  dvfgg  13410  dvcnp2cntop  13416  dvaddxxbr  13418  dvmulxxbr  13419  dvcoapbr  13424  dvcjbr  13425