Theorem dvlemap 13443

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	|- ( ph -> F : D --> CC )
dvlem.2	|- ( ph -> D C_ CC )
dvlem.3	|- ( ph -> B e. D )

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	|- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, D

Allowed substitution hints:   ph( w)   F( w)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : D --> CC )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> F : D --> CC )
3		elrabi 2883	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A e. D )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. D )
5	2, 4	ffvelrnd 5632	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` A ) e. CC )
6		dvlem.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. D )
8	2, 7	ffvelrnd 5632	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
9	5, 8	subcld 8230	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) e. CC )
10		dvlem.2	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> D C_ CC )
12	11, 4	sseldd 3148	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. CC )
13	10, 6	sseldd 3148	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
14	13	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. CC )
15	12, 14	subcld 8230	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) e. CC )
16		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w # B <-> A # B ) )
17	16	elrab 2886	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } <-> ( A e. D /\ A # B ) )
18	17	simprbi 273	. . . 4 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A # B )
19	18	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A # B )
20	12, 14, 19	subap0d 8563	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) # 0 )
21	9, 15, 20	divclapd 8707	1 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590

This theorem is referenced by:  dvfgg  13451  dvcnp2cntop  13457  dvaddxxbr  13459  dvmulxxbr  13460  dvcoapbr  13465  dvcjbr  13466