Theorem dvlemap 15237

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	|- ( ph -> F : D --> CC )
dvlem.2	|- ( ph -> D C_ CC )
dvlem.3	|- ( ph -> B e. D )

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	|- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, D

Allowed substitution hints:   ph( w)   F( w)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : D --> CC )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> F : D --> CC )
3		elrabi 2930	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A e. D )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. D )
5	2, 4	ffvelcdmd 5734	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` A ) e. CC )
6		dvlem.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. D )
8	2, 7	ffvelcdmd 5734	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
9	5, 8	subcld 8413	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) e. CC )
10		dvlem.2	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> D C_ CC )
12	11, 4	sseldd 3198	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. CC )
13	10, 6	sseldd 3198	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. CC )
15	12, 14	subcld 8413	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) e. CC )
16		breq1 4057	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w # B <-> A # B ) )
17	16	elrab 2933	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } <-> ( A e. D /\ A # B ) )
18	17	simprbi 275	. . . 4 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A # B )
19	18	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A # B )
20	12, 14, 19	subap0d 8747	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) # 0 )
21	9, 15, 20	divclapd 8893	1 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   {crab 2489   C_ wss 3170   class class class wbr 4054   -->wf 5281   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   CCcc 7953   - cmin 8273   # cap 8684   / cdiv 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776

This theorem is referenced by:  dvfgg  15245  dvcnp2cntop  15256  dvaddxxbr  15258  dvmulxxbr  15259  dvcoapbr  15264  dvcjbr  15265