ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvlemap Unicode version

Theorem dvlemap 13402
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
dvlem.2  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
dvlem.3  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dvlemap  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( F `  B ) )  /  ( A  -  B ) )  e.  CC )
Distinct variable groups:    w, A    w, B    w, D
Allowed substitution hints:    ph( w)    F( w)

Proof of Theorem dvlemap
StepHypRef Expression
1 dvlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
21adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  F : D --> CC )
3 elrabi 2883 . . . . 5  |-  ( A  e.  { w  e.  D  |  w #  B }  ->  A  e.  D
)
43adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  A  e.  D )
52, 4ffvelrnd 5629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  CC )
6 dvlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
76adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  B  e.  D )
82, 7ffvelrnd 5629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
95, 8subcld 8217 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( ( F `  A )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
10 dvlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1110adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  D  C_  CC )
1211, 4sseldd 3148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  A  e.  CC )
1310, 6sseldd 3148 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1413adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  B  e.  CC )
1512, 14subcld 8217 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( A  -  B
)  e.  CC )
16 breq1 3990 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w #  B  <->  A #  B
) )
1716elrab 2886 . . . . 5  |-  ( A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } 
<->  ( A  e.  D  /\  A #  B )
)
1817simprbi 273 . . . 4  |-  ( A  e.  { w  e.  D  |  w #  B }  ->  A #  B )
1918adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  A #  B )
2012, 14, 19subap0d 8550 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( A  -  B
) #  0 )
219, 15, 20divclapd 8694 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( F `  B ) )  /  ( A  -  B ) )  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2141   {crab 2452    C_ wss 3121   class class class wbr 3987   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759    - cmin 8077   # cap 8487    / cdiv 8576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577
This theorem is referenced by:  dvfgg  13410  dvcnp2cntop  13416  dvaddxxbr  13418  dvmulxxbr  13419  dvcoapbr  13424  dvcjbr  13425
  Copyright terms: Public domain W3C validator