ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvlemap Unicode version

Theorem dvlemap 12597
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
dvlem.2  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
dvlem.3  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dvlemap  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( F `  B ) )  /  ( A  -  B ) )  e.  CC )
Distinct variable groups:    w, A    w, B    w, D
Allowed substitution hints:    ph( w)    F( w)

Proof of Theorem dvlemap
StepHypRef Expression
1 dvlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
21adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  F : D --> CC )
3 elrabi 2804 . . . . 5  |-  ( A  e.  { w  e.  D  |  w #  B }  ->  A  e.  D
)
43adantl 273 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  A  e.  D )
52, 4ffvelrnd 5508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  CC )
6 dvlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
76adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  B  e.  D )
82, 7ffvelrnd 5508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
95, 8subcld 7989 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( ( F `  A )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
10 dvlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1110adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  D  C_  CC )
1211, 4sseldd 3062 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  A  e.  CC )
1310, 6sseldd 3062 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1413adantr 272 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  B  e.  CC )
1512, 14subcld 7989 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( A  -  B
)  e.  CC )
16 breq1 3896 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w #  B  <->  A #  B
) )
1716elrab 2807 . . . . 5  |-  ( A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } 
<->  ( A  e.  D  /\  A #  B )
)
1817simprbi 271 . . . 4  |-  ( A  e.  { w  e.  D  |  w #  B }  ->  A #  B )
1918adantl 273 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  ->  A #  B )
2012, 14, 19subap0d 8316 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( A  -  B
) #  0 )
219, 15, 20divclapd 8456 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { w  e.  D  |  w #  B } )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( F `  B ) )  /  ( A  -  B ) )  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1461   {crab 2392    C_ wss 3035   class class class wbr 3893   -->wf 5075   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7538    - cmin 7849   # cap 8254    / cdiv 8338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339
This theorem is referenced by:  dvfgg  12605  dvcnp2cntop  12611
  Copyright terms: Public domain W3C validator