Theorem dvlemap 15403

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	|- ( ph -> F : D --> CC )
dvlem.2	|- ( ph -> D C_ CC )
dvlem.3	|- ( ph -> B e. D )

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	|- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, D

Allowed substitution hints:   ph( w)   F( w)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : D --> CC )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> F : D --> CC )
3		elrabi 2959	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A e. D )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. D )
5	2, 4	ffvelcdmd 5783	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` A ) e. CC )
6		dvlem.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. D )
8	2, 7	ffvelcdmd 5783	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
9	5, 8	subcld 8489	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) e. CC )
10		dvlem.2	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> D C_ CC )
12	11, 4	sseldd 3228	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. CC )
13	10, 6	sseldd 3228	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. CC )
15	12, 14	subcld 8489	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) e. CC )
16		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w # B <-> A # B ) )
17	16	elrab 2962	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } <-> ( A e. D /\ A # B ) )
18	17	simprbi 275	. . . 4 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A # B )
19	18	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A # B )
20	12, 14, 19	subap0d 8823	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) # 0 )
21	9, 15, 20	divclapd 8969	1 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   {crab 2514   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   - cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852

This theorem is referenced by:  dvfgg  15411  dvcnp2cntop  15422  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425  dvcoapbr  15430  dvcjbr  15431