Theorem dvlemap 15906

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	|- ( ph -> F : D --> CC )
dvlem.2	|- ( ph -> D C_ CC )
dvlem.3	|- ( ph -> B e. D )

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	|- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, D

Allowed substitution hints:   ph( w)   F( w)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : D --> CC )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> F : D --> CC )
3		elrabi 2979	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A e. D )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. D )
5	2, 4	ffvelcdmd 5847	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` A ) e. CC )
6		dvlem.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. D )
8	2, 7	ffvelcdmd 5847	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
9	5, 8	subcld 8644	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) e. CC )
10		dvlem.2	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> D C_ CC )
12	11, 4	sseldd 3249	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A e. CC )
13	10, 6	sseldd 3249	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> B e. CC )
15	12, 14	subcld 8644	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) e. CC )
16		breq1 4134	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w # B <-> A # B ) )
17	16	elrab 2982	. . . . 5 |- ( A e. { w e. D | w # B } <-> ( A e. D /\ A # B ) )
18	17	simprbi 275	. . . 4 |- ( A e. { w e. D | w # B } -> A # B )
19	18	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> A # B )
20	12, 14, 19	subap0d 8980	. 2 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( A - B ) # 0 )
21	9, 15, 20	divclapd 9128	1 |- ( ( ph /\ A e. { w e. D | w # B } ) -> ( ( ( F ` A ) - ( F ` B ) ) / ( A - B ) ) e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   - cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011

This theorem is used by:  dvfgg  15914  dvcnp2cntop  15925  dvaddxxbr  15927  dvmulxxbr  15928  dvcoapbr  15933  dvcjbr  15934