Theorem dvlemap 15674

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3		elrabi 2973	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 ∈ 𝐷)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	2, 4	ffvelcdmd 5818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	2, 7	ffvelcdmd 5818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 8601	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 6	sseldd 3243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 8601	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
16		breq1 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 # 𝐵 ↔ 𝐴 # 𝐵))
17	16	elrab 2976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 # 𝐵))
18	17	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 # 𝐵)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 # 𝐵)
20	12, 14, 19	subap0d 8936	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
21	9, 15, 20	divclapd 9084	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   − cmin 8461   # cap 8873   / cdiv 8966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967

This theorem is referenced by:  dvfgg  15682  dvcnp2cntop  15693  dvaddxxbr  15695  dvmulxxbr  15696  dvcoapbr  15701  dvcjbr  15702