ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvlemap GIF version

Theorem dvlemap 14234
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
dvlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
dvlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvlemap ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀,𝐡   𝑀,𝐷
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   𝐹(𝑀)

Proof of Theorem dvlemap
StepHypRef Expression
1 dvlem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
21adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
3 elrabi 2892 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡} β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
43adantl 277 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
52, 4ffvelcdmd 5654 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6 dvlem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
76adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
82, 7ffvelcdmd 5654 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
95, 8subcld 8270 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
10 dvlem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
1110adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
1211, 4sseldd 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1310, 6sseldd 3158 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1413adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1512, 14subcld 8270 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
16 breq1 4008 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐴 β†’ (𝑀 # 𝐡 ↔ 𝐴 # 𝐡))
1716elrab 2895 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡} ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 # 𝐡))
1817simprbi 275 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡} β†’ 𝐴 # 𝐡)
1918adantl 277 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ 𝐴 # 𝐡)
2012, 14, 19subap0d 8603 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) # 0)
219, 15, 20divclapd 8749 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ 𝑀 # 𝐡}) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811   βˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632
This theorem is referenced by:  dvfgg  14242  dvcnp2cntop  14248  dvaddxxbr  14250  dvmulxxbr  14251  dvcoapbr  14256  dvcjbr  14257
  Copyright terms: Public domain W3C validator