Theorem dvlemap 15319

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3		elrabi 2936	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 ∈ 𝐷)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	2, 4	ffvelcdmd 5744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	2, 7	ffvelcdmd 5744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 8425	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 6	sseldd 3205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 8425	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
16		breq1 4065	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 # 𝐵 ↔ 𝐴 # 𝐵))
17	16	elrab 2939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 # 𝐵))
18	17	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 # 𝐵)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 # 𝐵)
20	12, 14, 19	subap0d 8759	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
21	9, 15, 20	divclapd 8905	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2180  {crab 2492   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965   − cmin 8285   # cap 8696   / cdiv 8787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788

This theorem is referenced by:  dvfgg  15327  dvcnp2cntop  15338  dvaddxxbr  15340  dvmulxxbr  15341  dvcoapbr  15346  dvcjbr  15347