ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvlemap GIF version

Theorem dvlemap 13060
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvlemap ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem dvlemap
StepHypRef Expression
1 dvlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
21adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3 elrabi 2865 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵} → 𝐴𝐷)
43adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐴𝐷)
52, 4ffvelrnd 5603 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 dvlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
76adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐵𝐷)
82, 7ffvelrnd 5603 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
95, 8subcld 8186 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
10 dvlem.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1110adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐷 ⊆ ℂ)
1211, 4sseldd 3129 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℂ)
1310, 6sseldd 3129 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1413adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
1512, 14subcld 8186 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
16 breq1 3968 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 # 𝐵𝐴 # 𝐵))
1716elrab 2868 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵} ↔ (𝐴𝐷𝐴 # 𝐵))
1817simprbi 273 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵} → 𝐴 # 𝐵)
1918adantl 275 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 # 𝐵)
2012, 14, 19subap0d 8519 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → (𝐴𝐵) # 0)
219, 15, 20divclapd 8663 1 ((𝜑𝐴 ∈ {𝑤𝐷𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2128  {crab 2439  wss 3102   class class class wbr 3965  wf 5166  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  cmin 8046   # cap 8456   / cdiv 8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546
This theorem is referenced by:  dvfgg  13068  dvcnp2cntop  13074  dvaddxxbr  13076  dvmulxxbr  13077  dvcoapbr  13082  dvcjbr  13083
  Copyright terms: Public domain W3C validator