Theorem dvlemap 15397

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3		elrabi 2957	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 ∈ 𝐷)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	2, 4	ffvelcdmd 5779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	2, 7	ffvelcdmd 5779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 8483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 6	sseldd 3226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 8483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
16		breq1 4089	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 # 𝐵 ↔ 𝐴 # 𝐵))
17	16	elrab 2960	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 # 𝐵))
18	17	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 # 𝐵)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 # 𝐵)
20	12, 14, 19	subap0d 8817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
21	9, 15, 20	divclapd 8963	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023   − cmin 8343   # cap 8754   / cdiv 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846

This theorem is referenced by:  dvfgg  15405  dvcnp2cntop  15416  dvaddxxbr  15418  dvmulxxbr  15419  dvcoapbr  15424  dvcjbr  15425