Theorem dvlemap 15764

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3		elrabi 2979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 ∈ 𝐷)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	2, 4	ffvelcdmd 5838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	2, 7	ffvelcdmd 5838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 8631	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 6	sseldd 3249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 8631	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
16		breq1 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 # 𝐵 ↔ 𝐴 # 𝐵))
17	16	elrab 2982	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 # 𝐵))
18	17	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 # 𝐵)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 # 𝐵)
20	12, 14, 19	subap0d 8966	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
21	9, 15, 20	divclapd 9114	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171   − cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997

This theorem is referenced by:  dvfgg  15772  dvcnp2cntop  15783  dvaddxxbr  15785  dvmulxxbr  15786  dvcoapbr  15791  dvcjbr  15792