Theorem dvlemap 14834

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlemap	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem dvlemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3		elrabi 2913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 ∈ 𝐷)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	2, 4	ffvelcdmd 5694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	2, 7	ffvelcdmd 5694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 8330	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 6	sseldd 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 8330	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
16		breq1 4032	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 # 𝐵 ↔ 𝐴 # 𝐵))
17	16	elrab 2916	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 # 𝐵))
18	17	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝐴 # 𝐵)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐴 # 𝐵)
20	12, 14, 19	subap0d 8663	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
21	9, 15, 20	divclapd 8809	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ {𝑤 ∈ 𝐷 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  {crab 2476   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692

This theorem is referenced by:  dvfgg  14842  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvmulxxbr  14851  dvcoapbr  14856  dvcjbr  14857