Theorem dvreq1 14451

Description: Equality in terms of ratio equal to ring unity. (diveqap1 9036 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvreq1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvreq1.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvreq1.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvreq1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvreq1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dvreq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6092	. . 3 ⊢ ((𝑋 / 𝑌) = 1 → ((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
2		dvreq1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		dvreq1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		dvreq1.d	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dvrcan1 14449	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
7	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
8	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
9		ringsrg 14354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
12	7, 8, 10, 11	unitcld 14417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		dvreq1.t	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	2, 5, 13	ringlidm 14330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
15	12, 14	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
16	15	3adant2 1047	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
17	6, 16	eqeq12d 2253	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	1, 17	imbitrid 154	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 → 𝑋 = 𝑌))
19	3, 4, 13	dvrid 14446	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
20	19	3adant2 1047	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
21		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑌 / 𝑌))
22	21	eqeq1d 2247	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ (𝑌 / 𝑌) = 1 ))
23	20, 22	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = 1 ))
24	18, 23	impbid 129	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  ._rcmulr 13434  1_rcur 14264  SRingcsrg 14269  Ringcrg 14302  Unitcui 14395  /_rcdvr 14440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-oppr 14375  df-dvdsr 14397  df-unit 14398  df-invr 14430  df-dvr 14441

This theorem is used by:  lringuplu  14505