Theorem dvreq1 14162

Description: Equality in terms of ratio equal to ring unity. (diveqap1 8885 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvreq1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvreq1.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvreq1.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvreq1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvreq1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dvreq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6025	. . 3 ⊢ ((𝑋 / 𝑌) = 1 → ((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
2		dvreq1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		dvreq1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		dvreq1.d	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dvrcan1 14160	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
7	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
8	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
9		ringsrg 14066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
12	7, 8, 10, 11	unitcld 14128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		dvreq1.t	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	2, 5, 13	ringlidm 14042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
15	12, 14	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
16	15	3adant2 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
17	6, 16	eqeq12d 2246	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	1, 17	imbitrid 154	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 → 𝑋 = 𝑌))
19	3, 4, 13	dvrid 14157	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
20	19	3adant2 1042	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
21		oveq1 6025	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑌 / 𝑌))
22	21	eqeq1d 2240	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ (𝑌 / 𝑌) = 1 ))
23	20, 22	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = 1 ))
24	18, 23	impbid 129	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  ._rcmulr 13166  1_rcur 13978  SRingcsrg 13982  Ringcrg 14015  Unitcui 14106  /_rcdvr 14151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-cmn 13878  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-srg 13983  df-ring 14017  df-oppr 14087  df-dvdsr 14108  df-unit 14109  df-invr 14141  df-dvr 14152

This theorem is referenced by:  lringuplu  14216