Theorem expeq0 10831

Description: Positive integer exponentiation is 0 iff its base is 0. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( A ^ N ) = 0 <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem expeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expap0 10830	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( A ^ N ) # 0 <-> A # 0 ) )
2	1	notbid 673	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( -. ( A ^ N ) # 0 <-> -. A # 0 ) )
3		nnnn0 9408	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4		expcl 10818	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) e. CC )
6		0cn 8170	. . 3 |- 0 e. CC
7		apti 8801	. . 3 |- ( ( ( A ^ N ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( A ^ N ) = 0 <-> -. ( A ^ N ) # 0 ) )
8	5, 6, 7	sylancl 413	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( A ^ N ) = 0 <-> -. ( A ^ N ) # 0 ) )
9		apti 8801	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( A = 0 <-> -. A # 0 ) )
10	6, 9	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A = 0 <-> -. A # 0 ) )
11	10	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A = 0 <-> -. A # 0 ) )
12	2, 8, 11	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( A ^ N ) = 0 <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   # cap 8760   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  0exp  10835  sqeq0  10863  expeq0d  10930  rpexp  12724