Theorem expcl 10809

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Proof of Theorem expcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3245	. 2 |- CC C_ CC
2		mulcl 8149	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
3		ax-1cn 8115	. 2 |- 1 e. CC
4	1, 2, 3	expcllem 10802	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200  (class class class)co 6013   CCcc 8020   NN0cn0 9392   ^cexp 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-exp 10791

This theorem is referenced by:  expap0  10821  expeq0  10822  expnegzap  10825  mulexp  10830  mulexpzap  10831  expadd  10833  expaddzaplem  10834  expaddzap  10835  expmul  10836  expmulzap  10837  expdivap  10842  binom3  10909  expcld  10925  faclbnd2  10994  faclbnd6  10996  cjexp  11444  absexp  11630  binomlem  12034  binom1p  12036  binom1dif  12038  expcnvap0  12053  geolim  12062  geolim2  12063  geo2sum  12065  eftcl  12205  eftabs  12207  efcj  12224  efaddlem  12225  eflegeo  12252  efi4p  12268  karatsuba  12993  expcn  15283  dvexp  15425  plyf  15451  ply1termlem  15456  plypow  15458  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  binom4  15693  1sgmprm  15708  perfect  15715  lgsquadlem1  15796