Theorem expcl 10652

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Proof of Theorem expcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3204	. 2 |- CC C_ CC
2		mulcl 8009	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
3		ax-1cn 7975	. 2 |- 1 e. CC
4	1, 2, 3	expcllem 10645	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   CCcc 7880   NN0cn0 9252   ^cexp 10633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-seqfrec 10543  df-exp 10634

This theorem is referenced by:  expap0  10664  expeq0  10665  expnegzap  10668  mulexp  10673  mulexpzap  10674  expadd  10676  expaddzaplem  10677  expaddzap  10678  expmul  10679  expmulzap  10680  expdivap  10685  binom3  10752  expcld  10768  faclbnd2  10837  faclbnd6  10839  cjexp  11061  absexp  11247  binomlem  11651  binom1p  11653  binom1dif  11655  expcnvap0  11670  geolim  11679  geolim2  11680  geo2sum  11682  eftcl  11822  eftabs  11824  efcj  11841  efaddlem  11842  eflegeo  11869  efi4p  11885  karatsuba  12610  expcn  14831  dvexp  14973  plyf  14999  ply1termlem  15004  plypow  15006  plyaddlem1  15009  plymullem1  15010  binom4  15241  1sgmprm  15256  perfect  15263  lgsquadlem1  15344