Theorem expcl 10818

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Proof of Theorem expcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3247	. 2 |- CC C_ CC
2		mulcl 8158	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
3		ax-1cn 8124	. 2 |- 1 e. CC
4	1, 2, 3	expcllem 10811	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   CCcc 8029   NN0cn0 9401   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  expap0  10830  expeq0  10831  expnegzap  10834  mulexp  10839  mulexpzap  10840  expadd  10842  expaddzaplem  10843  expaddzap  10844  expmul  10845  expmulzap  10846  expdivap  10851  binom3  10918  expcld  10934  faclbnd2  11003  faclbnd6  11005  cjexp  11453  absexp  11639  binomlem  12043  binom1p  12045  binom1dif  12047  expcnvap0  12062  geolim  12071  geolim2  12072  geo2sum  12074  eftcl  12214  eftabs  12216  efcj  12233  efaddlem  12234  eflegeo  12261  efi4p  12277  karatsuba  13002  expcn  15292  dvexp  15434  plyf  15460  ply1termlem  15465  plypow  15467  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  binom4  15702  1sgmprm  15717  perfect  15724  lgsquadlem1  15805