Theorem expcl 9969

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Proof of Theorem expcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3044	. 2 |- CC C_ CC
2		mulcl 7467	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
3		ax-1cn 7436	. 2 |- 1 e. CC
4	1, 2, 3	expcllem 9962	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   CCcc 7346   NN0cn0 8671   ^cexp 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951

This theorem is referenced by:  expap0  9981  expeq0  9982  expnegzap  9985  mulexp  9990  mulexpzap  9991  expadd  9993  expaddzaplem  9994  expaddzap  9995  expmul  9996  expmulzap  9997  expdivap  10002  binom3  10067  expcld  10082  faclbnd2  10146  faclbnd6  10148  cjexp  10323  absexp  10508  binomlem  10873  binom1p  10875  binom1dif  10877  expcnvap0  10892  geolim  10901  geolim2  10902  geo2sum  10904  eftcl  10940  eftabs  10942  efcj  10959  efaddlem  10960  eflegeo  10988  efi4p  11004