Theorem fac3 10954

Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac3	|- ( ! ` 3 ) = 6

Proof of Theorem fac3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9170	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
2	1	fveq2i 5630	. 2 |- ( ! ` 3 ) = ( ! ` ( 2 + 1 ) )
3		2nn0 9386	. . 3 |- 2 e. NN0
4		facp1 10952	. . 3 |- ( 2 e. NN0 -> ( ! ` ( 2 + 1 ) ) = ( ( ! ` 2 ) x. ( 2 + 1 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( ! ` ( 2 + 1 ) ) = ( ( ! ` 2 ) x. ( 2 + 1 ) )
6		fac2 10953	. . . 4 |- ( ! ` 2 ) = 2
7		2p1e3 9244	. . . 4 |- ( 2 + 1 ) = 3
8	6, 7	oveq12i 6013	. . 3 |- ( ( ! ` 2 ) x. ( 2 + 1 ) ) = ( 2 x. 3 )
9		2cn 9181	. . . 4 |- 2 e. CC
10		3cn 9185	. . . 4 |- 3 e. CC
11	9, 10	mulcomi 8152	. . 3 |- ( 2 x. 3 ) = ( 3 x. 2 )
12		3t2e6 9267	. . 3 |- ( 3 x. 2 ) = 6
13	8, 11, 12	3eqtri 2254	. 2 |- ( ( ! ` 2 ) x. ( 2 + 1 ) ) = 6
14	2, 5, 13	3eqtri 2254	1 |- ( ! ` 3 ) = 6

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   2c2 9161   3c3 9162   6c6 9165   NN0cn0 9369   !cfa 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-fac 10948

This theorem is referenced by:  fac4  10955  4bc2eq6  10996  ef4p  12205  ef01bndlem  12267