Theorem fz0to3un2pr 10547

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9590	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 9592	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		1le3 9527	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
4		elfz2nn0 10536	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1210	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0...3)
6		fzsplit 10473	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8		1e0p1 9834	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq2i 6099	. . . 4 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
10		0z 9666	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		fzpr 10501	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13		0p1e1 9427	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
14	13	preq2i 3792	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
15	9, 12, 14	3eqtri 2263	. . 3 ⊢ (0...1) = {0, 1}
16		1p1e2 9430	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
17		df-3 9373	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	16, 17	oveq12i 6100	. . . 4 ⊢ ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19		2z 9683	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 10501	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22		2p1e3 9447	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	preq2i 3792	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
24	18, 21, 23	3eqtri 2263	. . 3 ⊢ ((1 + 1)...3) = {2, 3}
25	15, 24	uneq12i 3381	. 2 ⊢ ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
26	7, 25	eqtri 2259	1 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   ≤ cle 8367  2c2 9364  3c3 9365  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by: (None)