Theorem fz0to3un2pr 10479

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9529	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 9531	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		1le3 9466	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
4		elfz2nn0 10468	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1206	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0...3)
6		fzsplit 10405	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8		1e0p1 9768	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq2i 6069	. . . 4 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
10		0z 9605	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		fzpr 10433	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13		0p1e1 9368	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
14	13	preq2i 3777	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
15	9, 12, 14	3eqtri 2259	. . 3 ⊢ (0...1) = {0, 1}
16		1p1e2 9371	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
17		df-3 9314	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	16, 17	oveq12i 6070	. . . 4 ⊢ ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19		2z 9622	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 10433	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22		2p1e3 9388	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	preq2i 3777	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
24	18, 21, 23	3eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((1 + 1)...3) = {2, 3}
25	15, 24	uneq12i 3375	. 2 ⊢ ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
26	7, 25	eqtri 2255	1 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {cpr 3695   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   ≤ cle 8325  2c2 9305  3c3 9306  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by: (None)