Theorem fz0to3un2pr 10315

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9381	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 9383	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		1le3 9318	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
4		elfz2nn0 10304	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1203	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0...3)
6		fzsplit 10243	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8		1e0p1 9615	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq2i 6011	. . . 4 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
10		0z 9453	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		fzpr 10269	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13		0p1e1 9220	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
14	13	preq2i 3747	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
15	9, 12, 14	3eqtri 2254	. . 3 ⊢ (0...1) = {0, 1}
16		1p1e2 9223	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
17		df-3 9166	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	16, 17	oveq12i 6012	. . . 4 ⊢ ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19		2z 9470	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 10269	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22		2p1e3 9240	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	preq2i 3747	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
24	18, 21, 23	3eqtri 2254	. . 3 ⊢ ((1 + 1)...3) = {2, 3}
25	15, 24	uneq12i 3356	. 2 ⊢ ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
26	7, 25	eqtri 2250	1 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {cpr 3667   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   ≤ cle 8178  2c2 9157  3c3 9158  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201

This theorem is referenced by: (None)