Theorem fzrevral 10490

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
2		elfzelz 10407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		fzrev 10469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
4	3	anassrs 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7		rspsbc 3135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
10	9	3impa 1225	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
11	10	com23 78	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
12	11	ralrimdv 2629	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
13		nfv 1581	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐾 ∈ ℤ
14		nfcv 2392	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))
15		nfsbc1v 3070	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
16	14, 15	nfralxy 2588	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
17		fzrev2i 10471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
18		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
19	18	sbceq1d 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
20	19	rspcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
22		zcn 9628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
23		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
25		nncan 8545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
27	26	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
28		sbceq1a 3061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
30	21, 29	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑))
31	30	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑)))
32	31	com23 78	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
33	13, 16, 32	ralrimd 2628	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34	33	3ad2ant3 1051	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
35	12, 34	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  [wsbc 3051  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   − cmin 8487  ℤcz 9623  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzrevral2  10491  fzrevral3  10492  fzshftral  10493