ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrevral GIF version

Theorem fzrevral 9892
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
2 elfzelz 9813 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 fzrev 9871 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
43anassrs 397 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
52, 4sylan2 284 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
61, 5mpbid 146 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7 rspsbc 2991 . . . . . . 7 ((𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
98ex 114 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1093impa 1176 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1110com23 78 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → [(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1211ralrimdv 2511 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
13 nfv 1508 . . . 4 𝑗 𝐾 ∈ ℤ
14 nfcv 2281 . . . . 5 𝑗((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))
15 nfsbc1v 2927 . . . . 5 𝑗[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
1614, 15nfralxy 2471 . . . 4 𝑗𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
17 fzrev2i 9873 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
18 oveq2 5782 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑗) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
1918sbceq1d 2914 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑗) → ([(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2019rspcv 2785 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2117, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
22 zcn 9066 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
23 elfzelz 9813 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
2423zcnd 9181 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
25 nncan 7998 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2622, 24, 25syl2an 287 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2726eqcomd 2145 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
28 sbceq1a 2918 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
3021, 29sylibrd 168 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑))
3130ex 114 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑)))
3231com23 78 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
3313, 16, 32ralrimd 2510 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34333ad2ant3 1004 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
3512, 34impbid 128 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  [wsbc 2909  (class class class)co 5774  cc 7625  cmin 7940  cz 9061  ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by:  fzrevral2  9893  fzrevral3  9894  fzshftral  9895
  Copyright terms: Public domain W3C validator