Theorem fzrevral 9916

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
2		elfzelz 9837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		fzrev 9895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
4	3	anassrs 398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	2, 4	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
6	1, 5	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7		rspsbc 2995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
9	8	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
10	9	3impa 1177	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
11	10	com23 78	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
12	11	ralrimdv 2514	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
13		nfv 1509	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐾 ∈ ℤ
14		nfcv 2282	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))
15		nfsbc1v 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
16	14, 15	nfralxy 2474	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
17		fzrev2i 9897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
18		oveq2 5790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
19	18	sbceq1d 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
20	19	rspcv 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
22		zcn 9083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
23		elfzelz 9837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
25		nncan 8015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
26	22, 24, 25	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
27	26	eqcomd 2146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
28		sbceq1a 2922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
30	21, 29	sylibrd 168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑))
31	30	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑)))
32	31	com23 78	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
33	13, 16, 32	ralrimd 2513	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34	33	3ad2ant3 1005	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
35	12, 34	impbid 128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  [wsbc 2913  (class class class)co 5782  ℂcc 7642   − cmin 7957  ℤcz 9078  ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fzrevral2  9917  fzrevral3  9918  fzshftral  9919