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Theorem fzrevral 9426
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
2 elfzelz 9349 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 fzrev 9405 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
43anassrs 392 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
52, 4sylan2 280 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
61, 5mpbid 145 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7 rspsbc 2909 . . . . . . 7 ((𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
98ex 113 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1093impa 1136 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1110com23 77 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → [(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1211ralrimdv 2448 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
13 nfv 1464 . . . 4 𝑗 𝐾 ∈ ℤ
14 nfcv 2225 . . . . 5 𝑗((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))
15 nfsbc1v 2846 . . . . 5 𝑗[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
1614, 15nfralxy 2410 . . . 4 𝑗𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
17 fzrev2i 9407 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
18 oveq2 5602 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑗) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
1918sbceq1d 2833 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑗) → ([(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2019rspcv 2710 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2117, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
22 zcn 8665 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
23 elfzelz 9349 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
2423zcnd 8779 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
25 nncan 7632 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2622, 24, 25syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2726eqcomd 2090 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
28 sbceq1a 2837 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
3021, 29sylibrd 167 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑))
3130ex 113 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑)))
3231com23 77 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
3313, 16, 32ralrimd 2447 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34333ad2ant3 964 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
3512, 34impbid 127 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  [wsbc 2828  (class class class)co 5594  cc 7269  cmin 7574  cz 8660  ...cfz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334
This theorem is referenced by:  fzrevral2  9427  fzrevral3  9428  fzshftral  9429
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