Theorem gcdmodi 13224

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	|- K e. NN0
gcdi.2	|- R e. NN0
gcdmodi.3	|- N e. NN
gcdmodi.4	|- ( K mod N ) = ( R mod N )
gcdmodi.5	|- ( N gcd R ) = G

Assertion

Ref	Expression
gcdmodi	|- ( K gcd N ) = G

Proof of Theorem gcdmodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmodi.4	. . . 4 |- ( K mod N ) = ( R mod N )
2	1	oveq1i 6095	. . 3 |- ( ( K mod N ) gcd N ) = ( ( R mod N ) gcd N )
3		gcdi.1	. . . . 5 |- K e. NN0
4	3	nn0zi 9671	. . . 4 |- K e. ZZ
5		gcdmodi.3	. . . 4 |- N e. NN
6		modgcd 12787	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( K mod N ) gcd N ) = ( K gcd N ) )
7	4, 5, 6	mp2an 430	. . 3 |- ( ( K mod N ) gcd N ) = ( K gcd N )
8		gcdi.2	. . . . 5 |- R e. NN0
9	8	nn0zi 9671	. . . 4 |- R e. ZZ
10		modgcd 12787	. . . 4 |- ( ( R e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( R mod N ) gcd N ) = ( R gcd N ) )
11	9, 5, 10	mp2an 430	. . 3 |- ( ( R mod N ) gcd N ) = ( R gcd N )
12	2, 7, 11	3eqtr3i 2267	. 2 |- ( K gcd N ) = ( R gcd N )
13	5	nnzi 9670	. . 3 |- N e. ZZ
14		gcdcom 12769	. . 3 |- ( ( R e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( R gcd N ) = ( N gcd R ) )
15	9, 13, 14	mp2an 430	. 2 |- ( R gcd N ) = ( N gcd R )
16		gcdmodi.5	. 2 |- ( N gcd R ) = G
17	12, 15, 16	3eqtri 2263	1 |- ( K gcd N ) = G

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   NNcn 9307   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   mod cmo 10774   gcd cgcd 12749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-gcd 12750

This theorem is used by:  1259lem5  13269