Theorem grplinv 13838

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpinv.u	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		grpinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 13831	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
7	1, 2, 3	grpinveu 13826	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8		riotacl2 6047	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
10	6, 9	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11		oveq1 6086	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑋))
12	11	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
13	12	elrab 2982	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
14	13	simprbi 275	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
15	10, 14	syl 14	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530  {crab 2532  ‘cfv 5375  ℩crio 6031  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  0_gc0g 13593  Grpcgrp 13788  inv_gcminusg 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792

This theorem is referenced by:  grprinv  13839  grpinvid1  13840  grpinvid2  13841  isgrpinv  13842  grplinvd  13843  grplrinv  13845  grpressid  13849  grplcan  13850  grpasscan2  13852  grpinvinv  13855  grpinvssd  13865  grpsubadd  13876  grplactcnv  13890  imasgrp  13897  ghmgrp  13904  mulgdirlem  13939  issubg2m  13975  isnsg3  13993  nmzsubg  13996  ssnmz  13997  eqger  14010  qusgrp  14018  conjghm  14062  ringnegr  14340  unitlinv  14416  lmodvneg1  14650  psrlinv  15058