ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grplinv GIF version

Theorem grplinv 12799
Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p + = (+g𝐺)
grpinv.u 0 = (0g𝐺)
grpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
3 grpinv.u . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 grpinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
51, 2, 3, 4grpinvval 12793 . . . 4 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
65adantl 277 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
71, 2, 3grpinveu 12788 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8 riotacl2 5837 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
97, 8syl 14 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
106, 9eqeltrd 2254 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11 oveq1 5875 . . . . 5 (𝑦 = (𝑁𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁𝑋) + 𝑋))
1211eqeq1d 2186 . . . 4 (𝑦 = (𝑁𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1312elrab 2893 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1413simprbi 275 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
1510, 14syl 14 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  ∃!wreu 2457  {crab 2459  cfv 5211  crio 5823  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  0gc0g 12640  Grpcgrp 12754  invgcminusg 12755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758
This theorem is referenced by:  grprinv  12800  grpinvid1  12801  grpinvid2  12802  isgrpinv  12803  grplrinv  12804  grplcan  12808  grpasscan2  12810  grpinvinv  12813  grpinvssd  12823  grpsubadd  12834  grplactcnv  12848  ghmgrp  12858  mulgdirlem  12889  rngnegr  13042  unitlinv  13107
  Copyright terms: Public domain W3C validator