Theorem grplinv 13847

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpinv.u	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		grpinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 13840	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
7	1, 2, 3	grpinveu 13835	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8		riotacl2 6026	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
10	6, 9	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11		oveq1 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑋))
12	11	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
13	12	elrab 2976	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
14	13	simprbi 275	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
15	10, 14	syl 14	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524  {crab 2526  ‘cfv 5357  ℩crio 6010  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  0_gc0g 13553  Grpcgrp 13797  inv_gcminusg 13798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801

This theorem is referenced by:  grprinv  13848  grpinvid1  13849  grpinvid2  13850  isgrpinv  13851  grplinvd  13852  grplrinv  13854  grpressid  13858  grplcan  13859  grpasscan2  13861  grpinvinv  13864  grpinvssd  13874  grpsubadd  13885  grplactcnv  13899  imasgrp  13912  ghmgrp  13919  mulgdirlem  13954  issubg2m  13990  isnsg3  14008  nmzsubg  14011  ssnmz  14012  eqger  14025  qusgrp  14033  conjghm  14077  ringnegr  14280  unitlinv  14356  lmodvneg1  14590  psrlinv  14951