Theorem gsumfzmptfidmadd2 13399

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumfzmptfidmadd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
gsumfzmptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
gsumfzmptfidmadd.f	|- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
gsumfzmptfidmadd.h	|- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, .+   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10492	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
4		gsumfzmptfidmadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
5		gsumfzmptfidmadd.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
6		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. ( M ... N ) |-> C ) )
8		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . 5 |- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> H = ( x e. ( M ... N ) |-> D ) )
10	3, 4, 5, 7, 9	offval2 6138	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) )
11	10	oveq2d 5926	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) )
12		gsummptfidmadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
13		gsummptfidmadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
14		gsummptfidmadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
15	12, 13, 14, 1, 2, 4, 5, 6, 8	gsumfzmptfidmadd 13398	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
16	11, 15	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   |-> cmpt 4090   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   oFcof 6120   Fincfn 6785   ZZcz 9307   ...cfz 10064   Basecbs 12608   +g cplusg 12685   gsum_g cgsu 12858  CMndccmn 13343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-of 6122  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-igsum 12860  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-cmn 13345

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15136