Theorem gsumfzmptfidmadd2 13863

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumfzmptfidmadd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
gsumfzmptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
gsumfzmptfidmadd.f	|- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
gsumfzmptfidmadd.h	|- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, .+   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10640	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
4		gsumfzmptfidmadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
5		gsumfzmptfidmadd.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
6		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. ( M ... N ) |-> C ) )
8		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . 5 |- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> H = ( x e. ( M ... N ) |-> D ) )
10	3, 4, 5, 7, 9	offval2 6224	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) )
11	10	oveq2d 6010	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) )
12		gsummptfidmadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
13		gsummptfidmadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
14		gsummptfidmadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
15	12, 13, 14, 1, 2, 4, 5, 6, 8	gsumfzmptfidmadd 13862	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
16	11, 15	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   |-> cmpt 4144   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   oFcof 6206   Fincfn 6877   ZZcz 9434   ...cfz 10192   Basecbs 13018   +g cplusg 13096   gsum_g cgsu 13276  CMndccmn 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-igsum 13278  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-cmn 13809

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15736  lgseisenlem4  15737