Theorem gsumfzmptfidmadd2 14098

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumfzmptfidmadd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
gsumfzmptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
gsumfzmptfidmadd.f	|- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
gsumfzmptfidmadd.h	|- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, .+   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10821	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
4		gsumfzmptfidmadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
5		gsumfzmptfidmadd.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
6		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. ( M ... N ) |-> C ) )
8		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . 5 |- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> H = ( x e. ( M ... N ) |-> D ) )
10	3, 4, 5, 7, 9	offval2 6292	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) )
11	10	oveq2d 6075	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) )
12		gsummptfidmadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
13		gsummptfidmadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
14		gsummptfidmadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
15	12, 13, 14, 1, 2, 4, 5, 6, 8	gsumfzmptfidmadd 14097	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
16	11, 15	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   |-> cmpt 4177   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   oFcof 6274   Fincfn 6989   ZZcz 9598   ...cfz 10365   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   gsum_g cgsu 13559  CMndccmn 14042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-of 6276  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-1o 6661  df-er 6781  df-en 6990  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-seqfrec 10838  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-0g 13560  df-igsum 13561  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-cmn 14044

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  16076  lgseisenlem4  16077