Theorem gsumfzmptfidmadd2 13746

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumfzmptfidmadd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
gsumfzmptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
gsumfzmptfidmadd.f	|- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
gsumfzmptfidmadd.h	|- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, .+   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10593	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
4		gsumfzmptfidmadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
5		gsumfzmptfidmadd.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
6		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. ( M ... N ) |-> C ) )
8		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . 5 |- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> H = ( x e. ( M ... N ) |-> D ) )
10	3, 4, 5, 7, 9	offval2 6186	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) )
11	10	oveq2d 5972	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) )
12		gsummptfidmadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
13		gsummptfidmadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
14		gsummptfidmadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
15	12, 13, 14, 1, 2, 4, 5, 6, 8	gsumfzmptfidmadd 13745	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
16	11, 15	eqtrd 2239	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   |-> cmpt 4112   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   oFcof 6168   Fincfn 6839   ZZcz 9387   ...cfz 10145   Basecbs 12902   +g cplusg 12979   gsum_g cgsu 13159  CMndccmn 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-of 6170  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-plusg 12992  df-0g 13160  df-igsum 13161  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-cmn 13692

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15619  lgseisenlem4  15620