Theorem gsumfzmptfidmadd2 13898

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumfzmptfidmadd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzmptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
gsumfzmptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
gsumfzmptfidmadd.f	|- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
gsumfzmptfidmadd.h	|- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, .+   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10670	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
4		gsumfzmptfidmadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> C e. B )
5		gsumfzmptfidmadd.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> D e. B )
6		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( M ... N ) |-> C )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. ( M ... N ) |-> C ) )
8		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . 5 |- H = ( x e. ( M ... N ) |-> D )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> H = ( x e. ( M ... N ) |-> D ) )
10	3, 4, 5, 7, 9	offval2 6243	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) )
11	10	oveq2d 6026	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) )
12		gsummptfidmadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
13		gsummptfidmadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
14		gsummptfidmadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
15	12, 13, 14, 1, 2, 4, 5, 6, 8	gsumfzmptfidmadd 13897	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( M ... N ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
16	11, 15	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   |-> cmpt 4145   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   oFcof 6225   Fincfn 6900   ZZcz 9462   ...cfz 10221   Basecbs 13053   +g cplusg 13131   gsum_g cgsu 13311  CMndccmn 13842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-igsum 13313  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-cmn 13844

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15772  lgseisenlem4  15773