Theorem gsumfzconst 13844

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzconst	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, G   k, M   k, N   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gsumfzconst

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1003	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		3simpb 1000	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G e. Mnd /\ X e. B ) )
3		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
4	3	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X ) )
5	4	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = M -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) )
6		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
7	6	oveq1d 5989	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( M - M ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 5989	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
9	5, 8	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
11		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
12	11	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
13	12	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = j -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
14		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( w - M ) = ( j - M ) )
15	14	oveq1d 5989	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
16	15	oveq1d 5989	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
17	13, 16	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = j -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
19		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
20	19	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) )
21	20	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) )
22		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
23	22	oveq1d 5989	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
24	23	oveq1d 5989	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
25	21, 24	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
26	25	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
27		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
28	27	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... N ) |-> X ) )
29	28	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = N -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) )
30		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
31	30	oveq1d 5989	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
32	31	oveq1d 5989	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )
33	29, 32	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
35		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> X e. B )
36		gsumconst.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
37		gsumconst.m	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` G )
38	36, 37	mulg1 13632	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
39	35, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( 1 .x. X ) = X )
40		zcn 9419	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
41	40	subidd 8413	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - M ) = 0 )
42	41	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
43		0p1e1 9192	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2258	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
45	44	oveq1d 5989	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
46	45	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
47		eqid 2209	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> G e. Mnd )
49		uzid 9704	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
51		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) /\ k e. ( M ... M ) ) -> X e. B )
52	51	fmpttd 5763	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) : ( M ... M ) --> B )
53	36, 47, 48, 50, 52	gsumval2 13396	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) )
54		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
55	54, 54	fzfigd 10620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) e. Fin )
56	55	mptexd 5839	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V )
57		plusgslid 13111	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 13025	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
59	48, 58	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( +g ` G ) e. _V )
60		seq1g 10652	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1252	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
62		eqid 2209	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... M ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X )
63		eqidd 2210	. . . . . . 7 |- ( k = M -> X = X )
64		elfz3 10198	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( M ... M ) )
66	62, 63, 65, 35	fvmptd3 5701	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) = X )
67	53, 61, 66	3eqtrd 2246	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = X )
68	39, 46, 67	3eqtr4rd 2253	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
69	68	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
70		fzssp1 10231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) )
72	71	resmptd 5032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
73	72	oveq2d 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
74		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
75	73, 74	eqtrd 2242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
76		eqid 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X )
77		eqidd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> X = X )
78		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
79		peano2uz 9746	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80		eluzfz2 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
81	78, 79, 80	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
82		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> X e. B )
83	76, 77, 81, 82	fvmptd3 5701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) = X )
84	75, 83	oveq12d 5992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
85		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> G e. Mnd )
86		eluzel2 9695	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
87	78, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> M e. ZZ )
88		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> X e. B )
89	88	fmpttd 5763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
91	36, 47, 85, 87, 78, 90	gsumsplit1r 13397	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) )
92		uznn0sub 9722	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j - M ) e. NN0 )
93		nn0p1nn 9376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - M ) e. NN0 -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
94	78, 92, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
95	36, 37, 47	mulgnnp1 13633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j - M ) + 1 ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
96	94, 82, 95	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
97	84, 91, 96	3eqtr4d 2252	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
98		eluzelcn 9701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. CC )
99	86	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. CC )
100	99	negcld 8412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. CC )
101		1cnd 8130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	add32d 8282	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + -u M ) )
103	98, 99	negsubd 8431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + -u M ) = ( j - M ) )
104	103	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
105	98, 101	addcld 8134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. CC )
106	105, 99	negsubd 8431	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + 1 ) + -u M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
107	102, 104, 106	3eqtr3d 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j - M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
108	107	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
109	108	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
110	78, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
111	97, 110	eqtrd 2242	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
112	111	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
113	112	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
115	10, 18, 26, 34, 69, 114	uzind4 9751	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
116	1, 2, 115	sylc 62	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 983   = wceq 1375   e. wcel 2180   _Vcvv 2779   C_ wss 3177   |-> cmpt 4124   |` cres 4698   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   Fincfn 6857   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   - cmin 8285   -ucneg 8286   NNcn 9078   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   ...cfz 10172   seqcseq 10636   Basecbs 12998   +g cplusg 13076   gsum_g cgsu 13256   Mndcmnd 13415  ._gcmg 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-er 6650  df-en 6858  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-seqfrec 10637  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-0g 13257  df-igsum 13258  df-minusg 13503  df-mulg 13623

This theorem is referenced by:  gsumfzconstf  13845  lgseisenlem4  15717