Theorem gsumfzconst 13930

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzconst	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, G   k, M   k, N   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gsumfzconst

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1024	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		3simpb 1021	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G e. Mnd /\ X e. B ) )
3		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
4	3	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X ) )
5	4	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = M -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) )
6		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
7	6	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( M - M ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
9	5, 8	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
11		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
12	11	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
13	12	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = j -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
14		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( w - M ) = ( j - M ) )
15	14	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
16	15	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
17	13, 16	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = j -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
19		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
20	19	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) )
21	20	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) )
22		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
23	22	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
24	23	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
25	21, 24	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
26	25	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
27		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
28	27	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... N ) |-> X ) )
29	28	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = N -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) )
30		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
31	30	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
32	31	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )
33	29, 32	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
35		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> X e. B )
36		gsumconst.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
37		gsumconst.m	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` G )
38	36, 37	mulg1 13718	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
39	35, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( 1 .x. X ) = X )
40		zcn 9484	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
41	40	subidd 8478	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - M ) = 0 )
42	41	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
43		0p1e1 9257	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
45	44	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
46	45	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
47		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> G e. Mnd )
49		uzid 9770	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
51		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) /\ k e. ( M ... M ) ) -> X e. B )
52	51	fmpttd 5802	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) : ( M ... M ) --> B )
53	36, 47, 48, 50, 52	gsumval2 13482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) )
54		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
55	54, 54	fzfigd 10694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) e. Fin )
56	55	mptexd 5881	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V )
57		plusgslid 13197	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 13111	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
59	48, 58	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( +g ` G ) e. _V )
60		seq1g 10726	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
62		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... M ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X )
63		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( k = M -> X = X )
64		elfz3 10269	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( M ... M ) )
66	62, 63, 65, 35	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) = X )
67	53, 61, 66	3eqtrd 2268	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = X )
68	39, 46, 67	3eqtr4rd 2275	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
69	68	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
70		fzssp1 10302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) )
72	71	resmptd 5064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
73	72	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
74		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
75	73, 74	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
76		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X )
77		eqidd 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> X = X )
78		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
79		peano2uz 9817	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80		eluzfz2 10267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
81	78, 79, 80	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
82		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> X e. B )
83	76, 77, 81, 82	fvmptd3 5740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) = X )
84	75, 83	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
85		simplll 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> G e. Mnd )
86		eluzel2 9760	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
87	78, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> M e. ZZ )
88		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> X e. B )
89	88	fmpttd 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
91	36, 47, 85, 87, 78, 90	gsumsplit1r 13483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) )
92		uznn0sub 9788	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j - M ) e. NN0 )
93		nn0p1nn 9441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - M ) e. NN0 -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
94	78, 92, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
95	36, 37, 47	mulgnnp1 13719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j - M ) + 1 ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
96	94, 82, 95	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
97	84, 91, 96	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
98		eluzelcn 9767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. CC )
99	86	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. CC )
100	99	negcld 8477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. CC )
101		1cnd 8195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	add32d 8347	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + -u M ) )
103	98, 99	negsubd 8496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + -u M ) = ( j - M ) )
104	103	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
105	98, 101	addcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. CC )
106	105, 99	negsubd 8496	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + 1 ) + -u M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
107	102, 104, 106	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j - M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
108	107	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
109	108	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
110	78, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
111	97, 110	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
112	111	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
113	112	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
115	10, 18, 26, 34, 69, 114	uzind4 9822	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
116	1, 2, 115	sylc 62	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   |-> cmpt 4150   |` cres 4727   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   - cmin 8350   -ucneg 8351   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   seqcseq 10710   Basecbs 13084   +g cplusg 13162   gsum_g cgsu 13342   Mndcmnd 13501  ._gcmg 13708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-seqfrec 10711  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-igsum 13344  df-minusg 13589  df-mulg 13709

This theorem is referenced by:  gsumfzconstf  13931  lgseisenlem4  15805