Theorem gsumfzconst 13989

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzconst	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, G   k, M   k, N   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gsumfzconst

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		3simpb 1022	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G e. Mnd /\ X e. B ) )
3		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
4	3	mpteq1d 4179	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X ) )
5	4	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( w = M -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) )
6		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
7	6	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( M - M ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
9	5, 8	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
11		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
12	11	mpteq1d 4179	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
13	12	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( w = j -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
14		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( w - M ) = ( j - M ) )
15	14	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
16	15	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
17	13, 16	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = j -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
19		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
20	19	mpteq1d 4179	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) )
21	20	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) )
22		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
23	22	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
24	23	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
25	21, 24	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
26	25	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
27		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
28	27	mpteq1d 4179	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... N ) |-> X ) )
29	28	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( w = N -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) )
30		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
31	30	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
32	31	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )
33	29, 32	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
35		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> X e. B )
36		gsumconst.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
37		gsumconst.m	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` G )
38	36, 37	mulg1 13777	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
39	35, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( 1 .x. X ) = X )
40		zcn 9527	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
41	40	subidd 8521	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - M ) = 0 )
42	41	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
43		0p1e1 9300	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
45	44	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
46	45	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
47		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> G e. Mnd )
49		uzid 9813	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
51		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) /\ k e. ( M ... M ) ) -> X e. B )
52	51	fmpttd 5810	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) : ( M ... M ) --> B )
53	36, 47, 48, 50, 52	gsumval2 13541	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) )
54		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
55	54, 54	fzfigd 10737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) e. Fin )
56	55	mptexd 5891	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V )
57		plusgslid 13256	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 13170	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
59	48, 58	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( +g ` G ) e. _V )
60		seq1g 10769	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
62		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... M ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X )
63		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( k = M -> X = X )
64		elfz3 10312	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( M ... M ) )
66	62, 63, 65, 35	fvmptd3 5749	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) = X )
67	53, 61, 66	3eqtrd 2268	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = X )
68	39, 46, 67	3eqtr4rd 2275	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
69	68	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
70		fzssp1 10345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) )
72	71	resmptd 5070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
73	72	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
74		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
75	73, 74	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
76		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X )
77		eqidd 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> X = X )
78		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
79		peano2uz 9860	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80		eluzfz2 10310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
81	78, 79, 80	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
82		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> X e. B )
83	76, 77, 81, 82	fvmptd3 5749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) = X )
84	75, 83	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
85		simplll 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> G e. Mnd )
86		eluzel2 9803	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
87	78, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> M e. ZZ )
88		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> X e. B )
89	88	fmpttd 5810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
91	36, 47, 85, 87, 78, 90	gsumsplit1r 13542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) )
92		uznn0sub 9831	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j - M ) e. NN0 )
93		nn0p1nn 9484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - M ) e. NN0 -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
94	78, 92, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
95	36, 37, 47	mulgnnp1 13778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j - M ) + 1 ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
96	94, 82, 95	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
97	84, 91, 96	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
98		eluzelcn 9810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. CC )
99	86	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. CC )
100	99	negcld 8520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. CC )
101		1cnd 8238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	add32d 8390	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + -u M ) )
103	98, 99	negsubd 8539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + -u M ) = ( j - M ) )
104	103	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
105	98, 101	addcld 8242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. CC )
106	105, 99	negsubd 8539	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + 1 ) + -u M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
107	102, 104, 106	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j - M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
108	107	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
109	108	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
110	78, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
111	97, 110	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
112	111	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
113	112	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
115	10, 18, 26, 34, 69, 114	uzind4 9865	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
116	1, 2, 115	sylc 62	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   |-> cmpt 4155   |` cres 4733   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   - cmin 8393   -ucneg 8394   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   seqcseq 10753   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   gsum_g cgsu 13401   Mndcmnd 13560  ._gcmg 13767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-seqfrec 10754  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-minusg 13648  df-mulg 13768

This theorem is referenced by:  gsumfzconstf  13990  lgseisenlem4  15869