ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gsumfzmptfidmadd2 GIF version

Theorem gsumfzmptfidmadd2 13410
Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p + = (+g𝐺)
gsummptfidmadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzmptfidmadd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶𝐵)
gsumfzmptfidmadd.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷𝐵)
gsumfzmptfidmadd.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
gsumfzmptfidmadd.h 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumfzmptfidmadd2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd2
StepHypRef Expression
1 gsumfzmptfidmadd.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 gsumfzmptfidmadd.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
31, 2fzfigd 10502 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4 gsumfzmptfidmadd.c . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶𝐵)
5 gsumfzmptfidmadd.d . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷𝐵)
6 gsumfzmptfidmadd.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
76a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶))
8 gsumfzmptfidmadd.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
98a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
103, 4, 5, 7, 9offval2 6146 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))
1110oveq2d 5934 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))))
12 gsummptfidmadd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 gsummptfidmadd.p . . 3 + = (+g𝐺)
14 gsummptfidmadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1512, 13, 14, 1, 2, 4, 5, 6, 8gsumfzmptfidmadd 13409 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
1611, 15eqtrd 2226 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  cmpt 4090  cfv 5254  (class class class)co 5918  𝑓 cof 6128  Fincfn 6794  cz 9317  ...cfz 10074  Basecbs 12618  +gcplusg 12695   Σg cgsu 12868  CMndccmn 13354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-cmn 13356
This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189
  Copyright terms: Public domain W3C validator