Theorem hashprg 10717

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
2		snfig 6776	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3	2	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { A } e. Fin )
4		elsni 3593	. . . . . . . 8 |- ( B e. { A } -> B = A )
5	4	eqcomd 2171	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> A = B )
6	5	necon3ai 2384	. . . . . 6 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
7	6	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> -. B e. { A } )
8		hashunsng 10716	. . . . . 6 |- ( B e. W -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) ) )
9	8	imp 123	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1226	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
11		hashsng 10707	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
13	12	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
14	13	oveq1d 5856	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( (♯ ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
15	10, 14	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
16		df-pr 3582	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
17	16	fveq2i 5488	. . 3 |- (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` ( { A } u. { B } ) )
18		df-2 8912	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2223	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A , B } ) = 2 )
20		1ne2 9059	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1 =/= 2 )
22	12, 21	eqnetrd 2359	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) =/= 2 )
23		dfsn2 3589	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
24		preq2 3653	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
25	23, 24	eqtr2id 2211	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
26	25	fveq2d 5489	. . . . . 6 |- ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` { A } ) )
27	26	neeq1d 2353	. . . . 5 |- ( A = B -> ( (♯ ` { A , B } ) =/= 2 <-> (♯ ` { A } ) =/= 2 ) )
28	22, 27	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) =/= 2 ) )
29	28	necon2d 2394	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( (♯ ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
30	29	imp 123	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ (♯ ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
31	19, 30	impbida 586	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   u. cun 3113   {csn 3575   {cpr 3576   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   Fincfn 6702   1c1 7750   + caddc 7752   2c2 8904  ♯chash 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-2 8912  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-ihash 10685

This theorem is referenced by:  prhash2ex  10718  fiprsshashgt1  10726