Theorem hashprg 10900

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
2		snfig 6873	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { A } e. Fin )
4		elsni 3640	. . . . . . . 8 |- ( B e. { A } -> B = A )
5	4	eqcomd 2202	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> A = B )
6	5	necon3ai 2416	. . . . . 6 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> -. B e. { A } )
8		hashunsng 10899	. . . . . 6 |- ( B e. W -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1247	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
11		hashsng 10890	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
14	13	oveq1d 5937	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( (♯ ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
15	10, 14	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
16		df-pr 3629	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
17	16	fveq2i 5561	. . 3 |- (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` ( { A } u. { B } ) )
18		df-2 9049	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2254	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A , B } ) = 2 )
20		1ne2 9197	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1 =/= 2 )
22	12, 21	eqnetrd 2391	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) =/= 2 )
23		dfsn2 3636	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
24		preq2 3700	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
25	23, 24	eqtr2id 2242	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
26	25	fveq2d 5562	. . . . . 6 |- ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` { A } ) )
27	26	neeq1d 2385	. . . . 5 |- ( A = B -> ( (♯ ` { A , B } ) =/= 2 <-> (♯ ` { A } ) =/= 2 ) )
28	22, 27	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) =/= 2 ) )
29	28	necon2d 2426	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( (♯ ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
30	29	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ (♯ ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
31	19, 30	impbida 596	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   u. cun 3155   {csn 3622   {cpr 3623   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   1c1 7880   + caddc 7882   2c2 9041  ♯chash 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-ihash 10868

This theorem is referenced by:  prhash2ex  10901  fiprsshashgt1  10909