ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashprg Unicode version

Theorem hashprg 10181
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashprg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( `  { A ,  B } )  =  2 ) )

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
2 snfig 6511 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
32ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { A }  e.  Fin )
4 elsni 3459 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { A }  ->  B  =  A )
54eqcomd 2093 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A }  ->  A  =  B )
65necon3ai 2304 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  B  ->  -.  B  e.  { A } )
76adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  B  e.  { A } )
8 hashunsng 10180 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  (
( { A }  e.  Fin  /\  -.  B  e.  { A } )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( `  { A } )  +  1 ) ) )
98imp 122 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  ( { A }  e.  Fin  /\  -.  B  e. 
{ A } ) )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( `  { A } )  +  1 ) )
101, 3, 7, 9syl12anc 1172 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( `  { A } )  +  1 ) )
11 hashsng 10171 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( `  { A } )  =  1 )
1211adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `  { A } )  =  1 )
1312adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  { A } )  =  1 )
1413oveq1d 5649 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( ( `  { A } )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
1510, 14eqtrd 2120 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
16 df-pr 3448 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716fveq2i 5292 . . 3  |-  ( `  { A ,  B }
)  =  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )
18 df-2 8452 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1915, 17, 183eqtr4g 2145 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  { A ,  B }
)  =  2 )
20 1ne2 8592 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
2120a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  1  =/=  2 )
2212, 21eqnetrd 2279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `  { A } )  =/=  2
)
23 dfsn2 3455 . . . . . . . 8  |-  { A }  =  { A ,  A }
24 preq2 3515 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
2523, 24syl5req 2133 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2625fveq2d 5293 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( `  { A ,  B } )  =  ( `  { A } ) )
2726neeq1d 2273 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( `  { A ,  B } )  =/=  2  <->  ( `  { A } )  =/=  2 ) )
2822, 27syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  =  B  ->  ( `  { A ,  B } )  =/=  2 ) )
2928necon2d 2314 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( `  { A ,  B }
)  =  2  ->  A  =/=  B ) )
3029imp 122 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( `  { A ,  B }
)  =  2 )  ->  A  =/=  B
)
3119, 30impbida 563 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( `  { A ,  B } )  =  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    u. cun 2995   {csn 3441   {cpr 3442   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Fincfn 6437   1c1 7330    + caddc 7332   2c2 8444  ♯chash 10148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-ihash 10149
This theorem is referenced by:  prhash2ex  10182  fiprsshashgt1  10190
  Copyright terms: Public domain W3C validator