ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashprg Unicode version

Theorem hashprg 10065
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashprg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( `  { A ,  B } )  =  2 ) )

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
2 snfig 6464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
32ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { A }  e.  Fin )
4 elsni 3443 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { A }  ->  B  =  A )
54eqcomd 2090 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A }  ->  A  =  B )
65necon3ai 2300 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  B  ->  -.  B  e.  { A } )
76adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  -.  B  e.  { A } )
8 hashunsng 10064 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  (
( { A }  e.  Fin  /\  -.  B  e.  { A } )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( `  { A } )  +  1 ) ) )
98imp 122 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  ( { A }  e.  Fin  /\  -.  B  e. 
{ A } ) )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( `  { A } )  +  1 ) )
101, 3, 7, 9syl12anc 1170 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( `  { A } )  +  1 ) )
11 hashsng 10055 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( `  { A } )  =  1 )
1211adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `  { A } )  =  1 )
1312adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  { A } )  =  1 )
1413oveq1d 5609 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( ( `  { A } )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
1510, 14eqtrd 2117 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
16 df-pr 3432 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716fveq2i 5259 . . 3  |-  ( `  { A ,  B }
)  =  ( `  ( { A }  u.  { B } ) )
18 df-2 8393 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1915, 17, 183eqtr4g 2142 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `  { A ,  B }
)  =  2 )
20 1ne2 8533 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
2120a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  1  =/=  2 )
2212, 21eqnetrd 2275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `  { A } )  =/=  2
)
23 dfsn2 3439 . . . . . . . 8  |-  { A }  =  { A ,  A }
24 preq2 3497 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
2523, 24syl5req 2130 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2625fveq2d 5260 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( `  { A ,  B } )  =  ( `  { A } ) )
2726neeq1d 2269 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( `  { A ,  B } )  =/=  2  <->  ( `  { A } )  =/=  2 ) )
2822, 27syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  =  B  ->  ( `  { A ,  B } )  =/=  2 ) )
2928necon2d 2310 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( `  { A ,  B }
)  =  2  ->  A  =/=  B ) )
3029imp 122 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( `  { A ,  B }
)  =  2 )  ->  A  =/=  B
)
3119, 30impbida 561 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( `  { A ,  B } )  =  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251    u. cun 2984   {csn 3425   {cpr 3426   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   Fincfn 6390   1c1 7272    + caddc 7274   2c2 8384  ♯chash 10032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-frec 6091  df-1o 6116  df-oadd 6120  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-ihash 10033
This theorem is referenced by:  prhash2ex  10066  fiprsshashgt1  10074
  Copyright terms: Public domain W3C validator