Theorem hashprg 10966

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
2		snfig 6917	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { A } e. Fin )
4		elsni 3653	. . . . . . . 8 |- ( B e. { A } -> B = A )
5	4	eqcomd 2212	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> A = B )
6	5	necon3ai 2426	. . . . . 6 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> -. B e. { A } )
8		hashunsng 10965	. . . . . 6 |- ( B e. W -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1248	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
11		hashsng 10956	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
14	13	oveq1d 5969	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( (♯ ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
15	10, 14	eqtrd 2239	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
16		df-pr 3642	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
17	16	fveq2i 5589	. . 3 |- (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` ( { A } u. { B } ) )
18		df-2 9108	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2264	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A , B } ) = 2 )
20		1ne2 9256	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1 =/= 2 )
22	12, 21	eqnetrd 2401	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) =/= 2 )
23		dfsn2 3649	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
24		preq2 3713	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
25	23, 24	eqtr2id 2252	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
26	25	fveq2d 5590	. . . . . 6 |- ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` { A } ) )
27	26	neeq1d 2395	. . . . 5 |- ( A = B -> ( (♯ ` { A , B } ) =/= 2 <-> (♯ ` { A } ) =/= 2 ) )
28	22, 27	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) =/= 2 ) )
29	28	necon2d 2436	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( (♯ ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
30	29	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ (♯ ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
31	19, 30	impbida 596	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   u. cun 3166   {csn 3635   {cpr 3636   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   Fincfn 6837   1c1 7939   + caddc 7941   2c2 9100  ♯chash 10933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-2 9108  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-fz 10144  df-ihash 10934

This theorem is referenced by:  prhash2ex  10967  fiprsshashgt1  10975