Theorem hashprg 11071

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
2		snfig 6988	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { A } e. Fin )
4		elsni 3687	. . . . . . . 8 |- ( B e. { A } -> B = A )
5	4	eqcomd 2237	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> A = B )
6	5	necon3ai 2451	. . . . . 6 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> -. B e. { A } )
8		hashunsng 11070	. . . . . 6 |- ( B e. W -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
11		hashsng 11059	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
14	13	oveq1d 6032	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( (♯ ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
15	10, 14	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
16		df-pr 3676	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
17	16	fveq2i 5642	. . 3 |- (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` ( { A } u. { B } ) )
18		df-2 9201	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2289	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A , B } ) = 2 )
20		1ne2 9349	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1 =/= 2 )
22	12, 21	eqnetrd 2426	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) =/= 2 )
23		dfsn2 3683	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
24		preq2 3749	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
25	23, 24	eqtr2id 2277	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
26	25	fveq2d 5643	. . . . . 6 |- ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` { A } ) )
27	26	neeq1d 2420	. . . . 5 |- ( A = B -> ( (♯ ` { A , B } ) =/= 2 <-> (♯ ` { A } ) =/= 2 ) )
28	22, 27	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) =/= 2 ) )
29	28	necon2d 2461	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( (♯ ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
30	29	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ (♯ ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
31	19, 30	impbida 600	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   u. cun 3198   {csn 3669   {cpr 3670   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   1c1 8032   + caddc 8034   2c2 9193  ♯chash 11036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-ihash 11037

This theorem is referenced by:  prhash2ex  11072  fiprsshashgt1  11080