Theorem hashunsng 10735

Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsng	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem hashunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
2		snfig 6790	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
3	2	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐵} ∈ Fin)
4		simplr 525	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
5		disjsn 3643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
7		hashun 10733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
9		hashsng 10726	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐵}) = 1)
10	9	oveq2d 5867	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
11	10	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
12	8, 11	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	12	expcom 115	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  {csn 3581  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  Fincfn 6716  1c1 7768   + caddc 7770  ♯chash 10702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-ihash 10703

This theorem is referenced by:  hashprg  10736  hashp1i  10738  hashxp  10754  fprodconst  11576