Theorem hashunsng 11270

Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsng	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem hashunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
2		snfig 7107	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐵} ∈ Fin)
4		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
5		disjsn 3771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
7		hashun 11267	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
9		hashsng 11259	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐵}) = 1)
10	9	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
11	10	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
12	8, 11	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	12	expcom 116	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3709  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  1c1 8186   + caddc 8188  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-ihash 11237

This theorem is used by:  hashprg  11271  hashp1i  11273  hashxp  11289  hashmap  11290  hashf1lem2  11308  hashf1  11309  fprodconst  12412  ballotfilemfp1  13289  gsump1  14247  gsumconstcmn  14266  ppiprm  16259