ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashunsng GIF version

Theorem hashunsng 10546
Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashunsng (𝐵𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem hashunsng
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
2 snfig 6701 . . . . 5 (𝐵𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
32adantl 275 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → {𝐵} ∈ Fin)
4 simplr 519 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → ¬ 𝐵𝐴)
5 disjsn 3580 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
64, 5sylibr 133 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
7 hashun 10544 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
81, 3, 6, 7syl3anc 1216 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
9 hashsng 10537 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (♯‘{𝐵}) = 1)
109oveq2d 5783 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
1110adantl 275 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
128, 11eqtrd 2170 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
1312expcom 115 1 (𝐵𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cun 3064  cin 3065  c0 3358  {csn 3522  cfv 5118  (class class class)co 5767  Fincfn 6627  1c1 7614   + caddc 7616  chash 10514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-ihash 10515
This theorem is referenced by:  hashprg  10547  hashp1i  10549  hashxp  10565
  Copyright terms: Public domain W3C validator