ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashunsng GIF version

Theorem hashunsng 10115
Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashunsng (𝐵𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem hashunsng
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
2 snfig 6485 . . . . 5 (𝐵𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
32adantl 271 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → {𝐵} ∈ Fin)
4 simplr 497 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → ¬ 𝐵𝐴)
5 disjsn 3489 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
64, 5sylibr 132 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
7 hashun 10113 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
81, 3, 6, 7syl3anc 1172 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
9 hashsng 10106 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (♯‘{𝐵}) = 1)
109oveq2d 5631 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
1110adantl 271 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
128, 11eqtrd 2117 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
1312expcom 114 1 (𝐵𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  cun 2986  cin 2987  c0 3275  {csn 3431  cfv 4983  (class class class)co 5615  Fincfn 6411  1c1 7298   + caddc 7300  chash 10083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-frec 6112  df-1o 6137  df-oadd 6141  df-er 6246  df-en 6412  df-dom 6413  df-fin 6414  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-fz 9360  df-ihash 10084
This theorem is referenced by:  hashprg  10116  hashp1i  10118  hashxp  10134
  Copyright terms: Public domain W3C validator