Theorem ialgr0 12696

Description: The value of the algorithm iterator R at 0 is the initial state A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
algrf.2	|- R = seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) )
algrf.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
algrf.4	|- ( ph -> A e. S )
algrf.5	|- ( ph -> F : S --> S )

Assertion

Ref	Expression
ialgr0	|- ( ph -> ( R ` M ) = A )

Proof of Theorem ialgr0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . 3 |- R = seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) )
2	1	fveq1i 5649	. 2 |- ( R ` M ) = ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M )
3		algrf.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		algrf.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		algrf.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
6	4, 5	ialgrlemconst 12695	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { A } ) ` x ) e. S )
7		algrf.5	. . . . 5 |- ( ph -> F : S --> S )
8	7	ialgrlem1st 12694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( F o. 1st ) y ) e. S )
9	3, 6, 8	seq3-1 10787	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M ) = ( ( Z X. { A } ) ` M ) )
10		uzid 9831	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
12	11, 4	eleqtrrdi 2325	. . . 4 |- ( ph -> M e. Z )
13		fvconst2g 5876	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ M e. Z ) -> ( ( Z X. { A } ) ` M ) = A )
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( Z X. { A } ) ` M ) = A )
15	9, 14	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M ) = A )
16	2, 15	eqtrid 2276	1 |- ( ph -> ( R ` M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {csn 3673   X. cxp 4729   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333   1stc1st 6310   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   seqcseq 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-seqfrec 10773

This theorem is referenced by:  algcvg  12700  eucalg  12711