ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ialgr0 Unicode version

Theorem ialgr0 11300
Description: The value of the algorithm iterator  R at  0 is the initial state  A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
algrf.2  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S )
algrf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
algrf.4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
algrf.5  |-  ( ph  ->  F : S --> S )
algrf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ialgr0  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )

Proof of Theorem ialgr0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S )
21fveq1i 5306 . 2  |-  ( R `
 M )  =  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S ) `  M )
3 algrf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 algrf.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 algrf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
64, 5ialgrlemconst 11299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( Z  X.  { A }
) `  x )  e.  S )
7 algrf.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : S --> S )
87ialgrlem1st 11298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x ( F  o.  1st ) y )  e.  S )
93, 6, 8iseq1 9871 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S ) `  M )  =  ( ( Z  X.  { A } ) `  M
) )
10 uzid 9031 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
113, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1211, 4syl6eleqr 2181 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
13 fvconst2g 5511 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
145, 12, 13syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
159, 14eqtrd 2120 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S ) `  M )  =  A )
162, 15syl5eq 2132 1  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3446    X. cxp 4436    o. ccom 4442   -->wf 5011   ` cfv 5015   1stc1st 5909   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017    seqcseq4 9847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849
This theorem is referenced by:  ialgcvg  11304  eucialg  11315
  Copyright terms: Public domain W3C validator