Theorem ialgr0 11976

Description: The value of the algorithm iterator R at 0 is the initial state A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
algrf.2	|- R = seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) )
algrf.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
algrf.4	|- ( ph -> A e. S )
algrf.5	|- ( ph -> F : S --> S )

Assertion

Ref	Expression
ialgr0	|- ( ph -> ( R ` M ) = A )

Proof of Theorem ialgr0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . 3 |- R = seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) )
2	1	fveq1i 5487	. 2 |- ( R ` M ) = ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M )
3		algrf.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		algrf.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		algrf.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
6	4, 5	ialgrlemconst 11975	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { A } ) ` x ) e. S )
7		algrf.5	. . . . 5 |- ( ph -> F : S --> S )
8	7	ialgrlem1st 11974	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( F o. 1st ) y ) e. S )
9	3, 6, 8	seq3-1 10395	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M ) = ( ( Z X. { A } ) ` M ) )
10		uzid 9480	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
12	11, 4	eleqtrrdi 2260	. . . 4 |- ( ph -> M e. Z )
13		fvconst2g 5699	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ M e. Z ) -> ( ( Z X. { A } ) ` M ) = A )
14	5, 12, 13	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( Z X. { A } ) ` M ) = A )
15	9, 14	eqtrd 2198	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M ) = A )
16	2, 15	syl5eq 2211	1 |- ( ph -> ( R ` M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   {csn 3576   X. cxp 4602   o. ccom 4608   -->wf 5184   ` cfv 5188   1stc1st 6106   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  algcvg  11980  eucalg  11991