Theorem ialgr0 12044

Description: The value of the algorithm iterator R at 0 is the initial state A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
algrf.2	|- R = seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) )
algrf.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
algrf.4	|- ( ph -> A e. S )
algrf.5	|- ( ph -> F : S --> S )

Assertion

Ref	Expression
ialgr0	|- ( ph -> ( R ` M ) = A )

Proof of Theorem ialgr0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . 3 |- R = seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) )
2	1	fveq1i 5517	. 2 |- ( R ` M ) = ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M )
3		algrf.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		algrf.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		algrf.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
6	4, 5	ialgrlemconst 12043	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { A } ) ` x ) e. S )
7		algrf.5	. . . . 5 |- ( ph -> F : S --> S )
8	7	ialgrlem1st 12042	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( F o. 1st ) y ) e. S )
9	3, 6, 8	seq3-1 10460	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M ) = ( ( Z X. { A } ) ` M ) )
10		uzid 9542	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
12	11, 4	eleqtrrdi 2271	. . . 4 |- ( ph -> M e. Z )
13		fvconst2g 5731	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ M e. Z ) -> ( ( Z X. { A } ) ` M ) = A )
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( Z X. { A } ) ` M ) = A )
15	9, 14	eqtrd 2210	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( F o. 1st ) , ( Z X. { A } ) ) ` M ) = A )
16	2, 15	eqtrid 2222	1 |- ( ph -> ( R ` M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3593   X. cxp 4625   o. ccom 4631   -->wf 5213   ` cfv 5217   1stc1st 6139   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   seqcseq 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446

This theorem is referenced by:  algcvg  12048  eucalg  12059