Theorem le2sq2 10258

Description: The square of a 'less than or equal to' ordering. (Contributed by NM, 21-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
le2sq2	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) )

Proof of Theorem le2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 504	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
2		simprl 503	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
3		0re 7687	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
4		letr 7767	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ B ) )
5	3, 4	mp3an1 1285	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ B ) )
6	5	exp4b 362	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ B -> 0 <_ B ) ) ) )
7	6	com23 78	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( B e. RR -> ( A <_ B -> 0 <_ B ) ) ) )
8	7	imp43 350	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> 0 <_ B )
9	2, 8	jca 302	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
10		le2sq 10257	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
11	9, 10	syldan 278	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
12	1, 11	mpbid 146	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7543   0cc0 7544   <_ cle 7722   2c2 8678   ^cexp 10182

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulrcl 7641  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-precex 7652  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658  ax-pre-mulgt0 7659  ax-pre-mulext 7660

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-reap 8252  df-ap 8259  df-div 8343  df-inn 8628  df-2 8686  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-seqfrec 10109  df-exp 10183

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10683  cos01gt0  11317