ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12b Unicode version
Theorem lemul12b 8756
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 8754 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) )
21ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
323comr 1201 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
433expb 1194 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
54adantrrr 479 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
65adantlr 469 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
7 lemul1a 8753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) )
87ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
983expa 1193 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
109adantllr 473 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
1110adantrl 470 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
126, 11anim12d 333 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( C <_ D /\ A <_ B ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
1312ancomsd 267 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
14 remulcl 7881 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1514adantlr 469 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1615ad2ant2r 501 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
17 remulcl 7881 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR ) -> ( A x. D ) e. RR )
1817ad2ant2r 501 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
1918ad2ant2rl 503 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
20 remulcl 7881 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
2120adantrr 471 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
2221ad2ant2l 500 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
23 letr 7981 . . 3 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( A x. D ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1228 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2513, 24syld 45 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   x. cmul 7758   <_ cle 7934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480
This theorem is referenced by:  lemul12a  8757  lemul12bd  8838
  Copyright terms: Public domain W3C validator