ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12b Unicode version
Theorem lemul12b 8836
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 8834 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) )
21ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
323comr 1213 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
433expb 1206 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
54adantrrr 487 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
65adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
7 lemul1a 8833 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) )
87ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
983expa 1205 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
109adantllr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
1110adantrl 478 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
126, 11anim12d 335 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( C <_ D /\ A <_ B ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
1312ancomsd 269 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
14 remulcl 7957 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1514adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1615ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
17 remulcl 7957 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR ) -> ( A x. D ) e. RR )
1817ad2ant2r 509 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
1918ad2ant2rl 511 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
20 remulcl 7957 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
2120adantrr 479 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
2221ad2ant2l 508 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
23 letr 8058 . . 3 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( A x. D ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1249 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2513, 24syld 45 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7828   0cc0 7829   x. cmul 7834   <_ cle 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557
This theorem is referenced by:  lemul12a  8837  lemul12bd  8918
  Copyright terms: Public domain W3C validator