ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12b Unicode version
Theorem lemul12b 9008
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 9006 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) )
21ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
323comr 1235 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
433expb 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
54adantrrr 487 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
65adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
7 lemul1a 9005 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) )
87ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
983expa 1227 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
109adantllr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
1110adantrl 478 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
126, 11anim12d 335 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( C <_ D /\ A <_ B ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
1312ancomsd 269 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
14 remulcl 8127 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1514adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1615ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
17 remulcl 8127 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR ) -> ( A x. D ) e. RR )
1817ad2ant2r 509 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
1918ad2ant2rl 511 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
20 remulcl 8127 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
2120adantrr 479 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
2221ad2ant2l 508 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
23 letr 8229 . . 3 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( A x. D ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1271 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2513, 24syld 45 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   x. cmul 8004   <_ cle 8182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729
This theorem is referenced by:  lemul12a  9009  lemul12bd  9090
  Copyright terms: Public domain W3C validator