Theorem lidlnegcl 13981

Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlnegcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnegcl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
2		rlmvnegg 13961	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))
3	1, 2	eqtrid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))
4	3	fveq1d 5556	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋))
5	4	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋))
6		rlmlmod 13960	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7	6	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
9		lidlcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10		lidlvalg 13967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13	8, 12	eleqtrd 2272	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
14	13	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
15		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
16		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
17		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (invg‘(ringLMod‘𝑅)) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
18	16, 17	lssvnegcl 13872	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
20	5, 19	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  inv_gcminusg 13073  Ringcrg 13492  LModclmod 13783  LSubSpclss 13848  ringLModcrglmod 13930  LIdealclidl 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-subg 13240  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-subrg 13715  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965

This theorem is referenced by:  lidlsubg  13982