Theorem lidlss 13972

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmfn 13949	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
2		lidlss.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
3	2	lidlmex 13971	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5571	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5354	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ 𝐼)
8		lidlvalg 13967	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ V → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
9	3, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
10	2, 9	eqtrid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
11	7, 10	eleqtrd 2272	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
12		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑊)) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
13		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
14	12, 13	lssssg 13856	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))) → 𝑈 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
15	6, 11, 14	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
16		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		rlmbasg 13951	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
18	3, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
19	16, 18	eqtrid 2238	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
20	15, 19	sseqtrrd 3218	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  Basecbs 12618  LSubSpclss 13848  ringLModcrglmod 13930  LIdealclidl 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965

This theorem is referenced by:  lidlbas  13974  lidlsubg  13982  2idlss  14010  2idlcpblrng  14019  zndvds  14137