Theorem lidlss 14353

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmfn 14330	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
2		lidlss.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
3	2	lidlmex 14352	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5616	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5395	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ 𝐼)
8		lidlvalg 14348	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ V → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
9	3, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
10	2, 9	eqtrid 2252	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
11	7, 10	eleqtrd 2286	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
12		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑊)) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
13		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
14	12, 13	lssssg 14237	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))) → 𝑈 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
15	6, 11, 14	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
16		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		rlmbasg 14332	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
18	3, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
19	16, 18	eqtrid 2252	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊)))
20	15, 19	sseqtrrd 3240	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ⊆ wss 3174   Fn wfn 5285  ‘cfv 5290  Basecbs 12947  LSubSpclss 14229  ringLModcrglmod 14311  LIdealclidl 14344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-lssm 14230  df-sra 14312  df-rgmod 14313  df-lidl 14346

This theorem is referenced by:  lidlbas  14355  lidlsubg  14363  2idlss  14391  2idlcpblrng  14400  zndvds  14526