Theorem m1p1sr 8075

Description: Minus one plus one is zero for signed reals. (Contributed by NM, 5-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
m1p1sr	|- ( -1R +R 1R ) = 0R

Proof of Theorem m1p1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 8048	. . 3 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
2		df-1r 8047	. . 3 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
3	1, 2	oveq12i 6062	. 2 |- ( -1R +R 1R ) = ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
4		df-0r 8046	. . 3 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
5		1pr 7869	. . . . 5 |- 1P e. P.
6		addclpr 7852	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
7	5, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
8		addsrpr 8060	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R )
9	5, 7, 7, 5, 8	mp4an 427	. . . 4 |- ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R
10		addassprg 7894	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) = ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
11	5, 5, 5, 10	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) = ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) )
12	11	oveq2i 6061	. . . . 5 |- ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
13		addclpr 7852	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P. )
14	5, 7, 13	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P.
15		addclpr 7852	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P. )
16	7, 5, 15	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P.
17		enreceq 8051	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P. /\ ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) ) )
18	5, 5, 14, 16, 17	mp4an 427	. . . . 5 |- ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) )
19	12, 18	mpbir 146	. . . 4 |- [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R
20	9, 19	eqtr4i 2256	. . 3 |- ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
21	4, 20	eqtr4i 2256	. 2 |- 0R = ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
22	3, 21	eqtr4i 2256	1 |- ( -1R +R 1R ) = 0R

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692  (class class class)co 6050   [cec 6765   P.cnp 7606   1Pc1p 7607   +P. cpp 7608   ~R cer 7611   0Rc0r 7613   1Rc1r 7614   -1Rcm1r 7615   +R cplr 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-0r 8046  df-1r 8047  df-m1r 8048

This theorem is referenced by:  pn0sr  8086  ltm1sr  8092  caucvgsrlemoffres  8115  caucvgsr  8117  suplocsrlempr  8122  axi2m1  8190