Theorem m1p1sr 8133

Description: Minus one plus one is zero for signed reals. (Contributed by NM, 5-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
m1p1sr	|- ( -1R +R 1R ) = 0R

Proof of Theorem m1p1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 8106	. . 3 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
2		df-1r 8105	. . 3 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
3	1, 2	oveq12i 6100	. 2 |- ( -1R +R 1R ) = ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
4		df-0r 8104	. . 3 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
5		1pr 7927	. . . . 5 |- 1P e. P.
6		addclpr 7910	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
7	5, 5, 6	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
8		addsrpr 8118	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R )
9	5, 7, 7, 5, 8	mp4an 431	. . . 4 |- ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R
10		addassprg 7952	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) = ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
11	5, 5, 5, 10	mp3an 1378	. . . . . 6 |- ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) = ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) )
12	11	oveq2i 6099	. . . . 5 |- ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
13		addclpr 7910	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P. )
14	5, 7, 13	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P.
15		addclpr 7910	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P. )
16	7, 5, 15	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P.
17		enreceq 8109	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P. /\ ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) ) )
18	5, 5, 14, 16, 17	mp4an 431	. . . . 5 |- ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) )
19	12, 18	mpbir 146	. . . 4 |- [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R
20	9, 19	eqtr4i 2262	. . 3 |- ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
21	4, 20	eqtr4i 2262	. 2 |- 0R = ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
22	3, 21	eqtr4i 2262	1 |- ( -1R +R 1R ) = 0R

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712  (class class class)co 6088   [cec 6809   P.cnp 7664   1Pc1p 7665   +P. cpp 7666   ~R cer 7669   0Rc0r 7671   1Rc1r 7672   -1Rcm1r 7673   +R cplr 7674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-0r 8104  df-1r 8105  df-m1r 8106

This theorem is used by:  pn0sr  8144  ltm1sr  8150  caucvgsrlemoffres  8173  caucvgsr  8175  suplocsrlempr  8180  axi2m1  8248