Theorem m1p1sr 7759

Description: Minus one plus one is zero for signed reals. (Contributed by NM, 5-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
m1p1sr	|- ( -1R +R 1R ) = 0R

Proof of Theorem m1p1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 7732	. . 3 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
2		df-1r 7731	. . 3 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
3	1, 2	oveq12i 5887	. 2 |- ( -1R +R 1R ) = ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
4		df-0r 7730	. . 3 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
5		1pr 7553	. . . . 5 |- 1P e. P.
6		addclpr 7536	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
7	5, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
8		addsrpr 7744	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R )
9	5, 7, 7, 5, 8	mp4an 427	. . . 4 |- ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R
10		addassprg 7578	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) = ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
11	5, 5, 5, 10	mp3an 1337	. . . . . 6 |- ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) = ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) )
12	11	oveq2i 5886	. . . . 5 |- ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
13		addclpr 7536	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P. )
14	5, 7, 13	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P.
15		addclpr 7536	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P. )
16	7, 5, 15	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P.
17		enreceq 7735	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) e. P. /\ ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) ) )
18	5, 5, 14, 16, 17	mp4an 427	. . . . 5 |- ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( 1P +P. ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) ) = ( 1P +P. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) )
19	12, 18	mpbir 146	. . . 4 |- [ <. 1P , 1P >. ] ~R = [ <. ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) >. ] ~R
20	9, 19	eqtr4i 2201	. . 3 |- ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
21	4, 20	eqtr4i 2201	. 2 |- 0R = ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
22	3, 21	eqtr4i 2201	1 |- ( -1R +R 1R ) = 0R

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3596  (class class class)co 5875   [cec 6533   P.cnp 7290   1Pc1p 7291   +P. cpp 7292   ~R cer 7295   0Rc0r 7297   1Rc1r 7298   -1Rcm1r 7299   +R cplr 7300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-0r 7730  df-1r 7731  df-m1r 7732

This theorem is referenced by:  pn0sr  7770  ltm1sr  7776  caucvgsrlemoffres  7799  caucvgsr  7801  suplocsrlempr  7806  axi2m1  7874