ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1p1sr Unicode version

Theorem m1p1sr 7695
Description: Minus one plus one is zero for signed reals. (Contributed by NM, 5-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
m1p1sr  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R

Proof of Theorem m1p1sr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 7668 . . 3  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
2 df-1r 7667 . . 3  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
31, 2oveq12i 5851 . 2  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  ( [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
4 df-0r 7666 . . 3  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
5 1pr 7489 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
6 addclpr 7472 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
75, 5, 6mp2an 423 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
8 addsrpr 7680 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. ) )  ->  ( [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R  )
95, 7, 7, 5, 8mp4an 424 . . . 4  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R
10 addassprg 7514 . . . . . . 7  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
115, 5, 5, 10mp3an 1326 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )
1211oveq2i 5850 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  1P ) )  =  ( 1P  +P.  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
13 addclpr 7472 . . . . . . 7  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )  e.  P. )
145, 7, 13mp2an 423 . . . . . 6  |-  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) )  e.  P.
15 addclpr 7472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  e. 
P. )
167, 5, 15mp2an 423 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  e. 
P.
17 enreceq 7671 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )  e.  P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  e.  P. ) )  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )  =  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ) ) )
185, 5, 14, 16, 17mp4an 424 . . . . 5  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P 
+P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
>. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )  =  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ) )
1912, 18mpbir 145 . . . 4  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R
209, 19eqtr4i 2188 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
214, 20eqtr4i 2188 . 2  |-  0R  =  ( [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
223, 21eqtr4i 2188 1  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1342    e. wcel 2135   <.cop 3576  (class class class)co 5839   [cec 6493   P.cnp 7226   1Pc1p 7227    +P. cpp 7228    ~R cer 7231   0Rc0r 7233   1Rc1r 7234   -1Rcm1r 7235    +R cplr 7236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-eprel 4264  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-irdg 6332  df-1o 6378  df-2o 6379  df-oadd 6382  df-omul 6383  df-er 6495  df-ec 6497  df-qs 6501  df-ni 7239  df-pli 7240  df-mi 7241  df-lti 7242  df-plpq 7279  df-mpq 7280  df-enq 7282  df-nqqs 7283  df-plqqs 7284  df-mqqs 7285  df-1nqqs 7286  df-rq 7287  df-ltnqqs 7288  df-enq0 7359  df-nq0 7360  df-0nq0 7361  df-plq0 7362  df-mq0 7363  df-inp 7401  df-i1p 7402  df-iplp 7403  df-enr 7661  df-nr 7662  df-plr 7663  df-0r 7666  df-1r 7667  df-m1r 7668
This theorem is referenced by:  pn0sr  7706  ltm1sr  7712  caucvgsrlemoffres  7735  caucvgsr  7737  suplocsrlempr  7742  axi2m1  7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator