ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1p1sr Unicode version

Theorem m1p1sr 7762
Description: Minus one plus one is zero for signed reals. (Contributed by NM, 5-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
m1p1sr  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R

Proof of Theorem m1p1sr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 7735 . . 3  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
2 df-1r 7734 . . 3  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
31, 2oveq12i 5890 . 2  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  ( [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
4 df-0r 7733 . . 3  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
5 1pr 7556 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
6 addclpr 7539 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
75, 5, 6mp2an 426 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
8 addsrpr 7747 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. ) )  ->  ( [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R  )
95, 7, 7, 5, 8mp4an 427 . . . 4  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R
10 addassprg 7581 . . . . . . 7  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
115, 5, 5, 10mp3an 1337 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )
1211oveq2i 5889 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  1P ) )  =  ( 1P  +P.  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
13 addclpr 7539 . . . . . . 7  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )  e.  P. )
145, 7, 13mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) )  e.  P.
15 addclpr 7539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  e. 
P. )
167, 5, 15mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  e. 
P.
17 enreceq 7738 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )  e.  P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )  e.  P. ) )  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )  =  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ) ) )
185, 5, 14, 16, 17mp4an 427 . . . . 5  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P 
+P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
>. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )  =  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ) )
1912, 18mpbir 146 . . . 4  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) >. ]  ~R
209, 19eqtr4i 2201 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
214, 20eqtr4i 2201 . 2  |-  0R  =  ( [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  +R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
223, 21eqtr4i 2201 1  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3597  (class class class)co 5878   [cec 6536   P.cnp 7293   1Pc1p 7294    +P. cpp 7295    ~R cer 7298   0Rc0r 7300   1Rc1r 7301   -1Rcm1r 7302    +R cplr 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-enr 7728  df-nr 7729  df-plr 7730  df-0r 7733  df-1r 7734  df-m1r 7735
This theorem is referenced by:  pn0sr  7773  ltm1sr  7779  caucvgsrlemoffres  7802  caucvgsr  7804  suplocsrlempr  7809  axi2m1  7877
  Copyright terms: Public domain W3C validator