Theorem ltm1sr 7807

Description: Adding minus one to a signed real yields a smaller signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R 𝐴)

Proof of Theorem ltm1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 7782	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
2		addclsr 7783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 +R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) ∈ R)
4		ltadd1sr 7806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +R -1R) ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R ((𝐴 +R -1R) +R 1R))
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R ((𝐴 +R -1R) +R 1R))
6		1sr 7781	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ R
7		addasssrg 7786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐴 +R -1R) +R 1R) = (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
8	1, 6, 7	mp3an23 1340	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R -1R) +R 1R) = (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
9	5, 8	breqtrd 4044	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
10		m1p1sr 7790	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
11	10	oveq2i 5908	. . 3 ⊢ (𝐴 +R (-1R +R 1R)) = (𝐴 +R 0R)
12	9, 11	breqtrdi 4059	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R (𝐴 +R 0R))
13		0idsr 7797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	12, 13	breqtrd 4044	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  Rcnr 7327  0_Rc0r 7328  1_Rc1r 7329  -1_Rcm1r 7330   +_R cplr 7331   <_R cltr 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-i1p 7497  df-iplp 7498  df-iltp 7500  df-enr 7756  df-nr 7757  df-plr 7758  df-ltr 7760  df-0r 7761  df-1r 7762  df-m1r 7763

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7838