Theorem ltm1sr 7837

Description: Adding minus one to a signed real yields a smaller signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R 𝐴)

Proof of Theorem ltm1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 7812	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
2		addclsr 7813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 +R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) ∈ R)
4		ltadd1sr 7836	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +R -1R) ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R ((𝐴 +R -1R) +R 1R))
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R ((𝐴 +R -1R) +R 1R))
6		1sr 7811	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ R
7		addasssrg 7816	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐴 +R -1R) +R 1R) = (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
8	1, 6, 7	mp3an23 1340	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R -1R) +R 1R) = (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
9	5, 8	breqtrd 4055	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
10		m1p1sr 7820	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
11	10	oveq2i 5929	. . 3 ⊢ (𝐴 +R (-1R +R 1R)) = (𝐴 +R 0R)
12	9, 11	breqtrdi 4070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R (𝐴 +R 0R))
13		0idsr 7827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	12, 13	breqtrd 4055	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  Rcnr 7357  0_Rc0r 7358  1_Rc1r 7359  -1_Rcm1r 7360   +_R cplr 7361   <_R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-1r 7792  df-m1r 7793

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7868