Theorem ltm1sr 7925

Description: Adding minus one to a signed real yields a smaller signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R 𝐴)

Proof of Theorem ltm1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 7900	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
2		addclsr 7901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 +R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) ∈ R)
4		ltadd1sr 7924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +R -1R) ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R ((𝐴 +R -1R) +R 1R))
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R ((𝐴 +R -1R) +R 1R))
6		1sr 7899	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ R
7		addasssrg 7904	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐴 +R -1R) +R 1R) = (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
8	1, 6, 7	mp3an23 1342	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R -1R) +R 1R) = (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
9	5, 8	breqtrd 4085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R (𝐴 +R (-1R +R 1R)))
10		m1p1sr 7908	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
11	10	oveq2i 5978	. . 3 ⊢ (𝐴 +R (-1R +R 1R)) = (𝐴 +R 0R)
12	9, 11	breqtrdi 4100	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R (𝐴 +R 0R))
13		0idsr 7915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	12, 13	breqtrd 4085	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R -1R) <R 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  Rcnr 7445  0_Rc0r 7446  1_Rc1r 7447  -1_Rcm1r 7448   +_R cplr 7449   <_R cltr 7451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-i1p 7615  df-iplp 7616  df-iltp 7618  df-enr 7874  df-nr 7875  df-plr 7876  df-ltr 7878  df-0r 7879  df-1r 7880  df-m1r 7881

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7956