Theorem ltmul2 8900

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ltmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 8636	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
2		recn 8029	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		recn 8029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulcom 8025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
5	3, 4	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
6	5	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
7		recn 8029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		mulcom 8025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
9	7, 8	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	3adant1 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
11	6, 10	breq12d 4047	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
12	2, 11	syl3an3 1284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
13	12	3adant3r 1237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
14	1, 13	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896   · cmul 7901   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  ltmul12a  8904  mulgt1  8907  ltmulgt11  8908  lt2msq1  8929  ltdiv2  8931  ltmul2i  8967  ltmul2d  9831  ef01bndlem  11938  cos01gt0  11945  sin4lt0  11949  pockthg  12551  tangtx  15158  lgsdilem  15352  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403