Theorem sin4lt0 11935

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- ( sin ` 4 ) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9148	. . . 4 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	fveq2i 5562	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( sin ` 4 )
3		2cn 9064	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2t 11917	. . . 4 |- ( 2 e. CC -> ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
6	2, 5	eqtr3i 2219	. 2 |- ( sin ` 4 ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
7		sincos2sgn 11934	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
8	7	simpri 113	. . . . . 6 |- ( cos ` 2 ) < 0
9		2re 9063	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recoscl 11889	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` 2 ) e. RR
12		0re 8029	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resincl 11888	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR -> ( sin ` 2 ) e. RR )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( sin ` 2 ) e. RR
15	7	simpli 111	. . . . . . . 8 |- 0 < ( sin ` 2 )
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) )
17		ltmul2 8886	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` 2 ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) ) ) -> ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) ) )
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) )
19	8, 18	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 )
20	14	recni 8041	. . . . . 6 |- ( sin ` 2 ) e. CC
21	20	mul01i 8420	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) = 0
22	19, 21	breqtri 4059	. . . 4 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0
23	14, 11	remulcli 8043	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR
24		2pos 9084	. . . . . 6 |- 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
26		ltmul2 8886	. . . . 5 |- ( ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) ) )
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1348	. . . 4 |- ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) )
28	22, 27	mpbi 145	. . 3 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 )
29	3	mul01i 8420	. . 3 |- ( 2 x. 0 ) = 0
30	28, 29	breqtri 4059	. 2 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < 0
31	6, 30	eqbrtri 4055	1 |- ( sin ` 4 ) < 0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   RRcr 7881   0cc0 7882   x. cmul 7887   < clt 8064   2c2 9044   4c4 9046   sincsin 11812   cosccos 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-sup 7052  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-ioc 9971  df-ico 9972  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-bc 10843  df-ihash 10871  df-shft 10983  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816  df-sin 11818  df-cos 11819

This theorem is referenced by: (None)