Theorem sin4lt0 11118

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- ( sin ` 4 ) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 8631	. . . 4 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	fveq2i 5321	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( sin ` 4 )
3		2cn 8554	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2t 11101	. . . 4 |- ( 2 e. CC -> ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
6	2, 5	eqtr3i 2111	. 2 |- ( sin ` 4 ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
7		sincos2sgn 11117	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
8	7	simpri 112	. . . . . 6 |- ( cos ` 2 ) < 0
9		2re 8553	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recoscl 11073	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( cos ` 2 ) e. RR
12		0re 7549	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resincl 11072	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR -> ( sin ` 2 ) e. RR )
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( sin ` 2 ) e. RR
15	7	simpli 110	. . . . . . . 8 |- 0 < ( sin ` 2 )
16	14, 15	pm3.2i 267	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) )
17		ltmul2 8378	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` 2 ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) ) ) -> ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) ) )
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1274	. . . . . 6 |- ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) )
19	8, 18	mpbi 144	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 )
20	14	recni 7561	. . . . . 6 |- ( sin ` 2 ) e. CC
21	20	mul01i 7930	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) = 0
22	19, 21	breqtri 3874	. . . 4 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0
23	14, 11	remulcli 7563	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR
24		2pos 8574	. . . . . 6 |- 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 267	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
26		ltmul2 8378	. . . . 5 |- ( ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) ) )
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1274	. . . 4 |- ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) )
28	22, 27	mpbi 144	. . 3 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 )
29	3	mul01i 7930	. . 3 |- ( 2 x. 0 ) = 0
30	28, 29	breqtri 3874	. 2 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < 0
31	6, 30	eqbrtri 3870	1 |- ( sin ` 4 ) < 0

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   RRcr 7410   0cc0 7411   x. cmul 7416   < clt 7583   2c2 8534   4c4 8536   sincsin 10995   cosccos 10996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-disj 3829  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-sup 6733  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-5 8545  df-6 8546  df-7 8547  df-8 8548  df-9 8549  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-ioc 9372  df-ico 9373  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-fac 10195  df-bc 10217  df-ihash 10245  df-shft 10310  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804  df-ef 10999  df-sin 11001  df-cos 11002

This theorem is referenced by: (None)