Theorem sin4lt0 11740

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- ( sin ` 4 ) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9044	. . . 4 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	fveq2i 5510	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( sin ` 4 )
3		2cn 8961	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2t 11723	. . . 4 |- ( 2 e. CC -> ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
6	2, 5	eqtr3i 2198	. 2 |- ( sin ` 4 ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
7		sincos2sgn 11739	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
8	7	simpri 113	. . . . . 6 |- ( cos ` 2 ) < 0
9		2re 8960	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recoscl 11695	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` 2 ) e. RR
12		0re 7932	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resincl 11694	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR -> ( sin ` 2 ) e. RR )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( sin ` 2 ) e. RR
15	7	simpli 111	. . . . . . . 8 |- 0 < ( sin ` 2 )
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) )
17		ltmul2 8784	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` 2 ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) ) ) -> ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) ) )
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1337	. . . . . 6 |- ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) )
19	8, 18	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 )
20	14	recni 7944	. . . . . 6 |- ( sin ` 2 ) e. CC
21	20	mul01i 8322	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) = 0
22	19, 21	breqtri 4023	. . . 4 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0
23	14, 11	remulcli 7946	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR
24		2pos 8981	. . . . . 6 |- 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
26		ltmul2 8784	. . . . 5 |- ( ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) ) )
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1337	. . . 4 |- ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) )
28	22, 27	mpbi 145	. . 3 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 )
29	3	mul01i 8322	. . 3 |- ( 2 x. 0 ) = 0
30	28, 29	breqtri 4023	. 2 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < 0
31	6, 30	eqbrtri 4019	1 |- ( sin ` 4 ) < 0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   x. cmul 7791   < clt 7966   2c2 8941   4c4 8943   sincsin 11618   cosccos 11619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-ioc 9862  df-ico 9863  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-fac 10672  df-bc 10694  df-ihash 10722  df-shft 10790  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328  df-ef 11622  df-sin 11624  df-cos 11625

This theorem is referenced by: (None)