Theorem sin4lt0 12453

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- ( sin ` 4 ) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9392	. . . 4 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	fveq2i 5673	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( sin ` 4 )
3		2cn 9308	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2t 12435	. . . 4 |- ( 2 e. CC -> ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
6	2, 5	eqtr3i 2255	. 2 |- ( sin ` 4 ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
7		sincos2sgn 12452	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
8	7	simpri 113	. . . . . 6 |- ( cos ` 2 ) < 0
9		2re 9307	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recoscl 12407	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` 2 ) e. RR
12		0re 8274	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resincl 12406	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR -> ( sin ` 2 ) e. RR )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( sin ` 2 ) e. RR
15	7	simpli 111	. . . . . . . 8 |- 0 < ( sin ` 2 )
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) )
17		ltmul2 9130	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` 2 ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) ) ) -> ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) ) )
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) )
19	8, 18	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 )
20	14	recni 8286	. . . . . 6 |- ( sin ` 2 ) e. CC
21	20	mul01i 8664	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) = 0
22	19, 21	breqtri 4134	. . . 4 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0
23	14, 11	remulcli 8288	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR
24		2pos 9328	. . . . . 6 |- 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
26		ltmul2 9130	. . . . 5 |- ( ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) ) )
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1374	. . . 4 |- ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) )
28	22, 27	mpbi 145	. . 3 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 )
29	3	mul01i 8664	. . 3 |- ( 2 x. 0 ) = 0
30	28, 29	breqtri 4134	. 2 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < 0
31	6, 30	eqbrtri 4130	1 |- ( sin ` 4 ) < 0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   x. cmul 8132   < clt 8308   2c2 9288   4c4 9290   sincsin 12330   cosccos 12331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-ioc 10226  df-ico 10227  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-sin 12336  df-cos 12337

This theorem is referenced by: (None)