Theorem sin4lt0 12391

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- ( sin ` 4 ) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9340	. . . 4 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	fveq2i 5651	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( sin ` 4 )
3		2cn 9256	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2t 12373	. . . 4 |- ( 2 e. CC -> ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( sin ` ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
6	2, 5	eqtr3i 2254	. 2 |- ( sin ` 4 ) = ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) )
7		sincos2sgn 12390	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
8	7	simpri 113	. . . . . 6 |- ( cos ` 2 ) < 0
9		2re 9255	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recoscl 12345	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` 2 ) e. RR
12		0re 8222	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resincl 12344	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR -> ( sin ` 2 ) e. RR )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( sin ` 2 ) e. RR
15	7	simpli 111	. . . . . . . 8 |- 0 < ( sin ` 2 )
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) )
17		ltmul2 9078	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` 2 ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( sin ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( sin ` 2 ) ) ) -> ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) ) )
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( cos ` 2 ) < 0 <-> ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) )
19	8, 18	mpbi 145	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < ( ( sin ` 2 ) x. 0 )
20	14	recni 8234	. . . . . 6 |- ( sin ` 2 ) e. CC
21	20	mul01i 8612	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. 0 ) = 0
22	19, 21	breqtri 4118	. . . 4 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0
23	14, 11	remulcli 8236	. . . . 5 |- ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR
24		2pos 9276	. . . . . 6 |- 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
26		ltmul2 9078	. . . . 5 |- ( ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) ) )
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1374	. . . 4 |- ( ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) < 0 <-> ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 ) )
28	22, 27	mpbi 145	. . 3 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < ( 2 x. 0 )
29	3	mul01i 8612	. . 3 |- ( 2 x. 0 ) = 0
30	28, 29	breqtri 4118	. 2 |- ( 2 x. ( ( sin ` 2 ) x. ( cos ` 2 ) ) ) < 0
31	6, 30	eqbrtri 4114	1 |- ( sin ` 4 ) < 0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   x. cmul 8080   < clt 8256   2c2 9236   4c4 9238   sincsin 12268   cosccos 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ioc 10172  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275

This theorem is referenced by: (None)