ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin4lt0 Unicode version

Theorem sin4lt0 11462
Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin4lt0  |-  ( sin `  4 )  <  0

Proof of Theorem sin4lt0
StepHypRef Expression
1 2t2e4 8867 . . . 4  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
21fveq2i 5417 . . 3  |-  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( sin `  4 )
3 2cn 8784 . . . 4  |-  2  e.  CC
4 sin2t 11445 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )
62, 5eqtr3i 2160 . 2  |-  ( sin `  4 )  =  ( 2  x.  (
( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) ) )
7 sincos2sgn 11461 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
87simpri 112 . . . . . 6  |-  ( cos `  2 )  <  0
9 2re 8783 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
10 recoscl 11417 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( cos `  2 )  e.  RR )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( cos `  2 )  e.  RR
12 0re 7759 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
13 resincl 11416 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( sin `  2 )  e.  RR )
149, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  2 )  e.  RR
157simpli 110 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( sin `  2
)
1614, 15pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  2
) )
17 ltmul2 8607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  2
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( sin `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )  -> 
( ( cos `  2
)  <  0  <->  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 ) ) )
1811, 12, 16, 17mp3an 1315 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  2 )  <  0  <->  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 ) )
198, 18mpbi 144 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  (
( sin `  2
)  x.  0 )
2014recni 7771 . . . . . 6  |-  ( sin `  2 )  e.  CC
2120mul01i 8146 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  0 )  =  0
2219, 21breqtri 3948 . . . 4  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  0
2314, 11remulcli 7773 . . . . 5  |-  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  e.  RR
24 2pos 8804 . . . . . 6  |-  0  <  2
259, 24pm3.2i 270 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
26 ltmul2 8607 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) )  <  0  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 ) ) )
2723, 12, 25, 26mp3an 1315 . . . 4  |-  ( ( ( sin `  2
)  x.  ( cos `  2 ) )  <  0  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 ) )
2822, 27mpbi 144 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  < 
( 2  x.  0 )
293mul01i 8146 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
3028, 29breqtri 3948 . 2  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  2 )  x.  ( cos `  2
) ) )  <  0
316, 30eqbrtri 3944 1  |-  ( sin `  4 )  <  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613    x. cmul 7618    < clt 7793   2c2 8764   4c4 8766   sincsin 11339   cosccos 11340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ioc 9669  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-bc 10487  df-ihash 10515  df-shft 10580  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343  df-sin 11345  df-cos 11346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator