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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prplnqu | Unicode version |
Description: Membership in the upper cut of a sum of a positive real and a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
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prplnqu.x |
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prplnqu.q |
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prplnqu.sum |
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Ref | Expression |
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prplnqu |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prplnqu.q |
. . . . . . . 8
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2 | nqprlu 7379 |
. . . . . . . 8
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . . . 7
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4 | prplnqu.x |
. . . . . . 7
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5 | ltaddpr 7429 |
. . . . . . 7
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6 | 3, 4, 5 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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7 | addcomprg 7410 |
. . . . . . 7
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8 | 3, 4, 7 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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9 | 6, 8 | breqtrd 3962 |
. . . . 5
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10 | prplnqu.sum |
. . . . . 6
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11 | addclpr 7369 |
. . . . . . . . 9
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12 | 4, 3, 11 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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13 | prop 7307 |
. . . . . . . . 9
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14 | elprnqu 7314 |
. . . . . . . . 9
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15 | 13, 14 | sylan 281 |
. . . . . . . 8
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16 | 12, 10, 15 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
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17 | nqpru 7384 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 12, 17 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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19 | 10, 18 | mpbid 146 |
. . . . 5
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20 | ltsopr 7428 |
. . . . . 6
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21 | ltrelpr 7337 |
. . . . . 6
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22 | 20, 21 | sotri 4942 |
. . . . 5
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23 | 9, 19, 22 | syl2anc 409 |
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24 | ltnqpr 7425 |
. . . . 5
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25 | 1, 16, 24 | syl2anc 409 |
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26 | 23, 25 | mpbird 166 |
. . 3
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27 | ltexnqi 7241 |
. . 3
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. 2
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29 | 19 | adantr 274 |
. . . . . 6
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30 | 1 | adantr 274 |
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31 | simprl 521 |
. . . . . . . . . 10
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32 | addcomnqg 7213 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 31, 32 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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34 | simprr 522 |
. . . . . . . . 9
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35 | 33, 34 | eqtr3d 2175 |
. . . . . . . 8
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36 | breq2 3941 |
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37 | 36 | abbidv 2258 |
. . . . . . . . 9
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38 | breq1 3940 |
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39 | 38 | abbidv 2258 |
. . . . . . . . 9
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40 | 37, 39 | opeq12d 3721 |
. . . . . . . 8
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41 | 35, 40 | syl 14 |
. . . . . . 7
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42 | addnqpr 7393 |
. . . . . . . 8
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43 | 31, 30, 42 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
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44 | 41, 43 | eqtr3d 2175 |
. . . . . 6
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45 | 29, 44 | breqtrd 3962 |
. . . . 5
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46 | ltaprg 7451 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | adantl 275 |
. . . . . 6
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48 | 4 | adantr 274 |
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49 | nqprlu 7379 |
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50 | 31, 49 | syl 14 |
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51 | 30, 2 | syl 14 |
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52 | addcomprg 7410 |
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53 | 52 | adantl 275 |
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54 | 47, 48, 50, 51, 53 | caovord2d 5948 |
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55 | 45, 54 | mpbird 166 |
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56 | nqpru 7384 |
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57 | 31, 48, 56 | syl2anc 409 |
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58 | 55, 57 | mpbird 166 |
. . 3
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59 | oveq1 5789 |
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60 | 59 | eqeq1d 2149 |
. . . 4
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61 | 60 | rspcev 2793 |
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62 | 58, 35, 61 | syl2anc 409 |
. 2
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63 | 28, 62 | rexlimddv 2557 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-eprel 4219 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-1o 6321 df-2o 6322 df-oadd 6325 df-omul 6326 df-er 6437 df-ec 6439 df-qs 6443 df-ni 7136 df-pli 7137 df-mi 7138 df-lti 7139 df-plpq 7176 df-mpq 7177 df-enq 7179 df-nqqs 7180 df-plqqs 7181 df-mqqs 7182 df-1nqqs 7183 df-rq 7184 df-ltnqqs 7185 df-enq0 7256 df-nq0 7257 df-0nq0 7258 df-plq0 7259 df-mq0 7260 df-inp 7298 df-iplp 7300 df-iltp 7302 |
This theorem is referenced by: caucvgprprlemexbt 7538 |
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