ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxleastlt Unicode version

Theorem maxleastlt 11115
Description: The maximum as a least upper bound, in terms of less than. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
maxleastlt  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( C  <  A  \/  C  <  B ) )

Proof of Theorem maxleastlt
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  A  e.  RR )
2 simplr 520 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  B  e.  RR )
3 simprl 521 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  C  e.  RR )
4 simprr 522 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) )
5 maxabs 11109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  B )  +  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  2 ) )
65breq2d 3977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  <->  C  <  ( ( ( A  +  B
)  +  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
76adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  <->  C  <  ( ( ( A  +  B
)  +  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
84, 7mpbid 146 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  C  <  ( ( ( A  +  B )  +  ( abs `  ( A  -  B )
) )  /  2
) )
91, 2, 3, 8maxabslemlub 11107 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  C  <  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( C  <  A  \/  C  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    e. wcel 2128   {cpr 3561   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   supcsup 6926   RRcr 7731    + caddc 7735    < clt 7912    - cmin 8046    / cdiv 8545   2c2 8884   abscabs 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899
This theorem is referenced by:  minmax  11129  xrmaxiflemlub  11145
  Copyright terms: Public domain W3C validator