ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqfrac Unicode version

Theorem modqfrac 9807
Description: The fractional part of a number is the number modulo 1. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqfrac  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  mod  1 )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )

Proof of Theorem modqfrac
StepHypRef Expression
1 1z 8839 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 zq 9174 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
31, 2ax-mp 7 . . 3  |-  1  e.  QQ
4 0lt1 7673 . . 3  |-  0  <  1
5 modqval 9794 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  1  e.  QQ  /\  0  <  1 )  ->  ( A  mod  1 )  =  ( A  -  (
1  x.  ( |_
`  ( A  / 
1 ) ) ) ) )
63, 4, 5mp3an23 1266 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  mod  1 )  =  ( A  -  (
1  x.  ( |_
`  ( A  / 
1 ) ) ) ) )
7 qcn 9182 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
87div1d 8310 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  /  1 )  =  A )
98fveq2d 5324 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  ( A  / 
1 ) )  =  ( |_ `  A
) )
109oveq2d 5684 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
1  x.  ( |_
`  ( A  / 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( |_ `  A
) ) )
11 flqcl 9743 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
1211zcnd 8932 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
1312mulid2d 7569 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
1  x.  ( |_
`  A ) )  =  ( |_ `  A ) )
1410, 13eqtrd 2121 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
1  x.  ( |_
`  ( A  / 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) )
1514oveq2d 5684 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  -  ( 1  x.  ( |_ `  ( A  /  1
) ) ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
166, 15eqtrd 2121 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  mod  1 )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   0cc0 7413   1c1 7414    x. cmul 7418    < clt 7585    - cmin 7716    / cdiv 8202   ZZcz 8813   QQcq 9167   |_cfl 9738    mod cmo 9792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-q 9168  df-rp 9198  df-fl 9740  df-mod 9793
This theorem is referenced by:  flqmod  9808  intqfrac  9809  zmod10  9810
  Copyright terms: Public domain W3C validator