Theorem modqfrac 10370

Description: The fractional part of a number is the number modulo 1. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqfrac	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 mod 1) = (𝐴 − (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem modqfrac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9310	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9658	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		0lt1 8115	. . 3 ⊢ 0 < 1
5		modqval 10357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ ∧ 0 < 1) → (𝐴 mod 1) = (𝐴 − (1 · (⌊‘(𝐴 / 1)))))
6	3, 4, 5	mp3an23 1340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 mod 1) = (𝐴 − (1 · (⌊‘(𝐴 / 1)))))
7		qcn 9666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	div1d 8768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
9	8	fveq2d 5538	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘(𝐴 / 1)) = (⌊‘𝐴))
10	9	oveq2d 5913	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1 · (⌊‘(𝐴 / 1))) = (1 · (⌊‘𝐴)))
11		flqcl 10306	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
13	12	mulid2d 8007	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1 · (⌊‘𝐴)) = (⌊‘𝐴))
14	10, 13	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1 · (⌊‘(𝐴 / 1))) = (⌊‘𝐴))
15	14	oveq2d 5913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (1 · (⌊‘(𝐴 / 1)))) = (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
16	6, 15	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 mod 1) = (𝐴 − (⌊‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  0cc0 7842  1c1 7843   · cmul 7847   < clt 8023   − cmin 8159   / cdiv 8660  ℤcz 9284  ℚcq 9651  ⌊cfl 10301   mod cmo 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303  df-mod 10356

This theorem is referenced by:  flqmod  10371  intqfrac  10372  zmod10  10373