Theorem climub 11370

Description: The limit of a monotonic sequence is an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climub.2	|- ( ph -> N e. Z )
climub.3	|- ( ph -> F ~~> A )
climub.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climub.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climub	|- ( ph -> ( F ` N ) <_ A )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k   k, Z

Proof of Theorem climub

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. 2 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
2		climub.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
3		clim2iser.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	2, 3	eleqtrdi 2282	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzelz 9555	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
7		fveq2 5530	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
8	7	eleq1d 2258	. . . . 5 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` N ) e. RR ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( ph -> ( F ` k ) e. RR ) <-> ( ph -> ( F ` N ) e. RR ) ) )
10		climub.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
11	10	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ph -> ( F ` k ) e. RR ) )
12	9, 11	vtoclga 2818	. . 3 |- ( N e. Z -> ( ph -> ( F ` N ) e. RR ) )
13	2, 12	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
14		climub.3	. 2 |- ( ph -> F ~~> A )
15	3	uztrn2 9563	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. Z )
16	2, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. Z )
17		fveq2 5530	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
18	17	eleq1d 2258	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` j ) e. RR ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( F ` k ) e. RR ) <-> ( ph -> ( F ` j ) e. RR ) ) )
20	19, 11	vtoclga 2818	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ph -> ( F ` j ) e. RR ) )
21	20	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. RR )
22	16, 21	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
24		elfzuz 10039	. . . . 5 |- ( k e. ( N ... j ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
25	3	uztrn2 9563	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
26	2, 25	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
27	26, 10	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
28	24, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
29	28	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
30		elfzuz 10039	. . . . 5 |- ( k e. ( N ... ( j - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
31		climub.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
32	26, 31	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
33	30, 32	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( N ... ( j - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
34	33	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( N ... ( j - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
35	23, 29, 34	monoord 10494	. 2 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) <_ ( F ` j ) )
36	1, 6, 13, 14, 22, 35	climlec2 11367	1 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   RRcr 7828   1c1 7830   + caddc 7832   <_ cle 8011   - cmin 8146   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546   ...cfz 10026   ~~> cli 11304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-fz 10027  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305

This theorem is referenced by:  climserle  11371